Несобственный интеграл по бесконечному промежутку

Просматривая математические тексты, нетрудно наткнуться на выражения вида или . С точки зрения введенного нами понятия интеграла Римана по отрезку приведенные интегральные выражения представляются бессмыслицей. Действительно, мы не сможем составить ни одной интегральной суммы, так как никогда не кончим разбивать бесконечный промежуток на конечные отрезки и выбирать на них отмеченные точки. И тем более, мы не сможем рассматривать последовательности интегральных сумм, соответствующих последовательностям таких разбиений с диаметрами разбиений, стремящимся к нулю. Что же понимают под такими интегралами?

Приведенные интегралы называются несобственными интегралами по бесконечному промежутку и определяются они при помощи интегралов Римана по конечным отрезкам следующим образом.

Пусть функция интегрируема на любом конечном отрезке , . То есть для любого существует . Если существует конечный предел , то такой предел обозначают и говорят, что этот несобственный интеграл сходится. Если предел бесконечен или не существует, то говорят, что соответствующий несобственный интеграл расходится.

Пример. Исследуем сходимость интеграла . Очевидно, что при и при . Устремим теперь к . Очевидно, что конечный предел функции существует только при . Он равен . При предел бесконечен. Таким образом, несобственный интеграл сходится только при , причем . При несобственный интеграл

расходится.

Дата добавления: 2014-01-07