Метод непосредственного интегрирования

Рассмотрим дифференциальное уравнение изогнутой оси балки (18.2.2):

.

Проинтегрировав это уравнение один раз, получим:

.

Проинтегрировав еще раз, получим:

,

где – постоянные интегрирования.

,

однако в пределах упругих деформаций углы малы, т. е. , тогда окончательно имеем:

1. Уравнение углов поворота:

. (18.3.1)

2. Уравнение прогибов:

(18.3.2)

Постоянные интегрирования определяют из граничных условий, т. е. из условий закрепления балки.

Рассмотрим возможные случаи закрепления балок:

1. Консольная балка

В начале координат жесткая заделка, т. е. прогиб и угол поворота равны нулю:

х = 0; у = 0;

х = 0; φ = 0.

2. Балка на двух опорах:

В местах расположения опор прогибы балки равны нулю, т. е.

х = 0; у = 0;

х = l; у = 0.

Уравнения (18.3.1) и (18.3.2) распространяются на балки с несколькими участками до рассматриваемого сечения. В этом случае интегрирование надо вести отдельно по каждому участку при неизменном положении начала координат. Затем полученные результаты сложить.

Пример 18.3.1. Определить прогиб и угол поворота сечения А для балки (рис. 18.3.1).

Рис. 18.3.1

Решение. Запишем дифференциальное уравнение изогнутой оси балки:

,

где (рис. 18.3.1), тогда из (18.3.1) =>

из (18.3.2) =>

граничные условия:

а) x = l; y = 0;

б) x = l; φ = 0.

Подставим граничные условия:

Определим искомые перемещения:

.

φ _A получили со знаком «плюс», т. е. сечение поворачивается против часовой стрелки; y_A получили со знаком «минус», т. е. центр тяжести сечения перемещается вниз.

Дата добавления: 2014-01-07