Дисперсия дискретной случайной величины

Центрированной случайной вели-

Название «центрированная величина» связано с тем, что математиче­ское ожидание есть центр распределения

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее сред­него значения. Например, в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена.

На первый взгляд может показаться, что для оценки рассеяния проще всего вычислить все возможные значения отклонения случайной величины и затем найти их сред­нее значение.

Однако такой путь ничего не даст, так как среднее значение отклонения, т. е. М [X—М (X)], для любой случайной величины равно нулю. Это свойство уже было доказано в предыдущем параграфе и объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, а другие—отрицательны; в результате их взаимного пога­шения среднее значение отклонения равно нулю.

Эти со­ображения говорят о целесообразности заменить возмож­ные отклонения их абсолютными значениямиили их квадратами. Так и поступают на деле. Правда, в случае, когда возможные отклонения заменяют их абсолютными значениями, приходится оперировать с абсолютными ве­личинами, что приводит иногда к серьезным затруднениям. Поэтому чаще всего идут по другому пути, т. е. вычисляют среднее значение квадрата отклонения, которое и назы­вают дисперсией.

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной вели­чиныназывают математическое ожидание квадрата откло­нения случайной величины от ее математического ожидания:

Пусть случайная величина задана законом распреде­ления

Тогда квадрат отклонения имеет следующий закон рас­пределения:

По определению дисперсии,

Таким образом, для того чтобы найти дисперсию, до­статочно вычислить сумму произведений возможных зна­чений квадрата отклонения на их вероятности.

Замечание. Из определения следует, что дисперсия дискрет­ной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина. В дальнейшем читатель узнает, что дисперсия непрерывной случайной величины также есть постоянная величина.

Пример. Найти дисперсию случайной величины X, которая задана следующим законом распределения:

Решение. Найдем математическое ожидание:

Найдем все возможные значения квадрата отклонения:

Напишем закон распределения квадрата отклонения:

По определению,

Вычисление, основанное на определении дисперсии, оказалось относительно громоздким. Далее будет указана формула, которая приводит к цели значительно быстрее.

Дата добавления: 2014-01-07