Элементы математической статистики

Методы математико-статистического планирования и обработки результатов эксперимента

При проведении эксперимента многократно определяют некоторую величину Х, значения которой могут быть разными вследствие случайных отклонений в условиях эксперимента. Поэтому значения величины Х называют случайными.

Множество измерений одной случайной величины называют генеральной совокупностью.

На практике проводится конечное число измерений случайной величины, результаты этих измерений называют выборкой генеральной совокупности.

Генеральную совокупность характеризуют математическим ожиданием (средним) – точным значением измеряемого параметра, не искаженным случайными ошибками. Вычисляют по формуле:

m=Sxi/n

Чтобы оценить вероятность попадания случайной величины внутрь данного интервала, начало координат переносят в точку математического ожидания и далее используют «правило трех сигм». Единицей измерения интервала является сигма или среднеквадратическое отклонение.

s = s^2 s^2=(S(xi-m)^2)/n

С точностью до долей процента случайная величина Х может находиться в пределах: m-3 s £ X £ m+3 s.

Использование общепринятых статистических критериев и методов допустимо только в случае так называемого нормального распределения.

Вероятность того, что данный замер Х₁ окажется внутри заданного интервала называется доверительной вероятностью. Обозначается Р.

Р = ±1 s = 0.68,

Р = ±2 s = 0.95,

Р = ±3 s = 0.99.

Уровень значимости a = 1 - Р, то есть какова вероятность совершить ошибку, предполагая, что данный замер попадет внутрь заданного интервала.

Уровень надежности (95%) – это доверительный интервал среднего. Для нормального распределения коэффициент доверия t = 1,96 при уровне надежности 95%. Для малых выборок (менее 25-30 опытов, т.е. замеров величины Х или определения величины У) коэффициент доверия определяется по критерию Стьюдента или решается обратная задача, т.е. определяется минимальное число опытов.

Критерий Стьюдента вычисляется по формуле:

где X₁ и X₂ – среднее арифметическое значение переменных; М₁ и М₂ – величины средних ошибок, которые вычисляются по формуле:

где s - средняя квадратическая, вычисляемая по формуле.

При малом числе наблюдения (действий) – менее 100 – в значении формулы следует ставить не “N”, а “N – 1”.

Дата добавления: 2014-01-07