Модель Марковица

На практике используют множество методик формирования оптимальной структуры портфеля ценных бумаг. Большинство из них основано на методике Марковица. Он впервые предложил математическую формализацию задачи нахождения оптимальной структуры портфеля ценных бумаг в 1951 году, за что позднее был удостоен Нобелевской по экономике.

Основными постулатами, на которых построена классическая портфельная теория, являются следующие:

· Рынок состоит из конечного числа активов, доходности которых для заданного периода считаются случайными величинами.

· Инвестор в состоянии, например, исходя из статистических данных, получить оценку ожидаемых (средних) значений доходностей и их попарных ковариаций и степеней возможности диверсификации риска.

· Инвестор может формировать любые допустимые (для данной модели) портфели. Доходности портфелей являются также случайными величинами.

· Сравнение выбираемых портфелей основывается только на двух критериях – средней доходности и риске.

· Инвестор не склонен к риску в том смысле, что из двух портфелей с одинаковой доходностью он обязательно предпочтет портфель с меньшим риском.

Вероятностная модель

Каждой случайной величине r_i ставится в соответствие два числа:

- математическое ожидание сл. величины r_i

- дисперсия сл. величины r_i

где p_i – вероятность получения доходности r_i i -ой ценной бумаги.

Недостатком дисперсии является то, что она имеет размерность квадрата случайной величины. Поэтому часто вместо дисперсии используется среднее квадратическое отклонение (СКО): . В соответствии с моделью Марковица математическое и среднее квадратическое отклонение являются оценкой доходности и риска ценной бумаги соответственно, что позволяет сравнивать между собой различные альтернативы вложения капитала с точки зрения поставленных целей. Данная модель получила название вероятностной модели рынка.

Также каждой паре случайных величин r_i и r_j ставится в соответствие число, называемое ковариацией эти величин: .

Параметрическая модель

В отличие от вероятностной модели, параметрическая модель допускает эффективную статистическую оценку. Параметры этой модели можно оценить исходя из имеющихся статистических данных за прошлые периоды. Эти статистические данные представляют собой ряды доходностей за последовательные периоды в прошлом.

– средняя доходность i-й ценной бумаги, выборочная оценка математического ожидания,

– дисперсия случайной величины ,

– ковариация между доходностями i-й и j-й ценной бумаги.

В однопериодной модели Марковица инвестор в момент времени Т формирует портфель w:

, где - доля капитала инвестора размещённого в активе . Множество W, представляет собой всю совокупность портфелей, которые можно сформировать из n активов. Его принято называть достижимым множеством активов.

Любой портфель из достижимого множества можно описать в соответствии с моделью Марковица двумя показателями: математическим ожиданием и дисперсией портфеля.

- математическое ожидание портфеля, представляет ожидаемую в среднем доходность портфеля;

- дисперсия портфеля.

Математическая модель, описывающая формирование портфеля, минимизирующего риск при заданном уровне ожидаемой доходности по Марковицу:

Дата добавления: 2014-01-07