Условия равновесия плоской системы сил

Доказательство.

Теорема Вариньона

Приведение произвольной плоской системы сил к данному центру

Выберем точку O и назовем её центром. Пользуясь предыдущей теоремой, перенесём все силы, действующие на тело в точку O. Получим систему сходящихся сил и некоторое количество пар. Сложив полученную систему сил по известному правилу силового многоугольника, получим одну силу, называемую главным вектором системы:

.

Складывая пары, получим результирующую пару с моментом, равным алгебраической сумме моментов слагаемых пар. Обозначив момент результирующей пары m, а моменты слагаемых пар, получим:.

Однако ранее доказано, что

Следовательно,.

Эта сумма моментов всех сил относительно какого-либо центра приведения называется главным моментом системы.

Всякую плоскую систему сил всегда можно заменить одной силой, равной главному вектору системы и приложенной в произвольно выбранном центре приведения, и парой с моментом, равным главному моменту системы относительно выбранного центра приведения.

Важно отметить, что силане является равнодействующей системы, т.к. она замещает систему только в совокупности с главным моментом.

Для аналитического определения главного вектора проведем оси координат и спроецируем уравнение на эти оси:

Направление главного вектора определяют направляющие косинусы:

.

Момент равнодействующих сил, расположенных в одной плоскости, относительно некоторой точки равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно той же точки.

Проанализируем характер распределения площадей:

2 площади;

2 площади;

2 площади.

Следовательно,.

Умножив уравнение на два, получим:.

Это равенство справедливо также и в векторной форме:

,

где знак «+» следует понимать в алгебраическом смысле.

Теорема. Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы были равны нулю:

,

.

Данная теорема имеет три формы.

Первая форма уравнений равновесия.

Теорема. Для равновесия произвольной плоской системы необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из двух выбранных координатных осей равнялась нулю и чтобы сумма моментов всех сил системы относительно любой точки плоскости также равнялась нулю.

Т.к., а,,

то уравнения равновесия будут иметь вид:

.

Вторая форма уравнений равновесия.

Теорема. Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов всех сил относительно двух произвольных точек равнялась нулю и чтобы сумма проекций всех сил на произвольную ось, не перпендикулярную прямой, соединяющей эти точки, равнялась нулю:

.

Третья форма уравнений равновесия.

Теорема. Для равновесия произвольной плоскости системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех сил системы относительно каждого из трёх произвольных, но не лежащих на одной прямой центров равнялись нулю.

Доказательство:

а) необходимость: это условие очевидно, т. к. если есть равновесие, то сумма моментов всех сил относительно всякого центра равна нулю;

б) достаточность: возьмём три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. Пусть относительно них выполняются равенства:

.

Докажем, что система сил находится в равновесии.

Докажем обратное, что условия выполнены, а система сил не находится в равновесии.

Выберем точку A за центр приведения и приведем все силы к центру: получим равнодействующую, приложенную к точке A. Т.к. главный момент, то пары не будет.

Если окажется, что R = 0, то теорема доказана ().

Пусть, тогда линия действия должна пройти через точку B, чтобы выполнялось условие, а по теореме Вариньона,. Следовательно,, что может быть при только в случае, если проходит через точку B. Таким образом, проходит через точку A и точку B. По условию,. Т.к., линия действия должна пройти через точку C, что невозможно, следовательно, R = 0.

Лекция 3
РАВНОВЕСИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ СИЛ. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ

Пространственная система сил. Произвольная система сил. Аналитические условия равновесия произвольной пространственной системы сил. Центр параллельных сил и центр тяжести. Определение положения центров тяжести тел

Пространственная система сил.
Равнодействующая пространственной системы сходящихся сил

Любую силу можно представить диагональю прямоугольного параллелепипеда, построенного на составляющих, которые по модулю равны проекциям данной силы на оси координат х, у, z. Модуль и направление определяют по формулам:

,

,,.

Система сил, линии действия которых не лежат в одной плоскости, но пересекаются в данной точке, называется пространственной системой сходящихся сил. Равнодействующая пространственной системы сходящихся сил равна геометрической сумме слагаемых сил:

.

Равнодействующая выражается замыкающей стороной пространственного силового многоугольника, стороны которого равны и параллельны данным силам. В частности, если число слагаемых сходящихся сил равно трем, то их равнодействующая по модулю и направлению выражается диагональю параллелепипеда, построенного на этих силах. Силовой многоугольник пространственной системы сходящихся сил не является плоской фигурой, поэтому при сложении сходящихся сил, не лежащих в одной плоскости, предпочтительнее аналитический метод.

Теорема. Проекция равнодействующей системы сходящихся сил на какую-либо ось равна сумме проекций всех сил на эту же ось.

,,.

Зная составляющие, находим модуль и направление равнодействующей.

Дата добавления: 2014-01-07