Условие равновесия системы в обобщенных силах

Примеры вычисления обобщенной силы

Обобщенные силы

Рассмотрим механическую систему, состоящую из п материальных точек: М ₁, М ₂, … М_п, имеющую К степеней свободы. Обозначим ее независимые обобщенные координаты q ₁, q ₂, … q_k. Предположим, что к точкам системы приложены силы. Чтобы вычислить обобщенную силу, дадим координате q ₁ ничтожно малое приращение dq ₁, оставляя прочие координаты без изменения. Это изменение координаты q ₁ вызовет ничтожно малые перемещения e ₁, e ₂, e_п всех точек системы. Вычислим сумму работ сил на перемещениях e ₁, e ₂, e_п:

.

Пусть эта работа равна произведению некоторого множителя Q ₁ на приращение координаты dq ₁. Поступая аналогично, найдем Q ₂, … Q_k, соответствующие координатам q ₂, … q_k:

.

Обобщенная сила – это величина, равная коэффициенту при приращении обобщенной координаты в выражении полной элементарной работы действующих на систему сил.

Не следует считать, что обобщенная сила всегда имеет размерность [Ньютон]. Работа всегда вычисляется в джоулях (1 Дж = 1 Н×м).

Размерность обобщенной координаты	Размерность обобщенной силы
м	Н
рад	Н×м
м^3	Па

В механической системе с идеальными связями обобщенные реакции связей всегда равны нулю, поэтому при переходе к обобщенным силам реакции связей автоматически выпадают из расчетов. В этом большое преимущество методов Лагранжа.

К барабану 1 радиуса R приложен момент М, под действием которого осуществляется подъем груза 2. Массы барабана и груза соответственно равны т ₁ и т ₂.

Представленная на рисунке механическая система имеет одну степень свободы. Для определения обобщенной силы выберем в качестве обобщенной координаты угол поворота барабана – j (направим его против часовой стрелки). Дадим обобщенной координате приращение dj и вычислим полную элементарную работу всех активных сил на этом перемещении:

.

Работа от веса барабана равна нулю, т.к. ось его вращения не перемещается. Тогда обобщенная сила равна.

Другой пример. Пусть система материальных точек М ₁, М ₂, М ₃, … М_п имеет k степеней свободы. Обозначим ее обобщенные координаты q ₁, q ₂, … q_k. Возьмем декартовы оси x, y, z и обозначим координаты точки М_i через. Координаты являются функциями обобщенных координат и времени:

К системе приложены силы. Вычислим обобщенные силы. Например,.

Элементарную работу силы F_i мы можем вычислить как

.

Т.к.,,, то

.

Рассуждая аналогично и поделив обе части равенства на dq, получим:

или

.

Согласно принципу возможных перемещений, необходимым и достаточным условием является равенство нулю суммы элементарных работ всех активных сил на любом возможном перемещении системы, тогда

.

Так как обобщенные координаты не зависят друг от друга, то равенство выполнимо только в том случае, если каждое слагаемое равно нулю, т.е..

Для равновесия механической системы необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы, соответствующие выбранным для системы обобщенным координатам, были равны нулю.

Дата добавления: 2014-01-07