Математическая основа карт

Лекция 4

4.1. Геодезическая основа картографических произведений

Для изображения земной поверхности на карте необходимо верно перенести ее на плоскость, имея для этого форму и размеры Земли. Эта информация составляет геодезическую основу, полученную методами геодезии. При перенесении на карту физической поверхности Земли, точки и линии ее проецируют по параллелям на поверхность эллипсоида, поэтому взаимное положение точек на карте зависит от принятых размеров эллипсоида. Так в СССР в 1942 году был принят эллипсоид Красовского Ф.И. с размерами:

а =6 378 245 м, b =6 356 863 м, α = 1/298,3.

На картах, изображающих большие территории, истинные размеры земной поверхности уменьшены в млн. раз, поэтому для создания карт принимают Землю в виде шара с R=6371,1 км.

Для картографирования и решения различных задач вводят геодезические системы координат: общеземные, международные, межгосударственные – для всей планеты и референцные, используемые в регионах или государстве. Общеземную систему координат используют для картографирования и решения глобальных задач (фигуры Земли, движения полюсов, спутников Земли и др.) Она представляет геоцентрическую Гринвическую прямоугольную систему координат, ее начало совмещено с центром масс Земли, ось Z направлена на северный полюс, ось Х совмещена с плоскостью Гринвического меридиана, оси Х и У лежат в плоскости экватора. Для закрепления этой системы на поверхности Земли создается сеть геодезических пунктов, по измерениям которой получают их координаты. В СССР, используя размеры референц-эллипсоида Красовского была принята система координат 1942 года. Используя американскую систему глобального спутникового позиционирования, в 1984 году принята международная геодезическая система WGS-84.

В России принята в 1990 г. геодезическая референцная система ПЗ-90 на основе наблюдений спутников ГЛОНАСС, а с 1995 года референцная система СК-95. С 1 января 2007 года Украина перешла на новую государственную систему координат УСК-2000, в основе которой лежат наблюдения спутников GPS. Она позволяет с помощью глобальных навигационных спутниковых систем использовать данную систему координат в топографо-геодезическом производстве.

4.2. Картографические проекции.

4.2.1. Определение.

Картографическая проекция – это математический способ перехода с поверхности эллипсоида на плоскость, что позволяет установить связь между географическими и прямоугольными координатами на плоскости, т.е.

x = f₁ (φ, λ);

y = f₂ (φ, λ).

Проектируя земную поверхность на вспомогательную геометрическую поверхность (цилиндр, конус, плоскость), параметры которых известны, получают изображение на плоскости в определенной системе координат (Например, проекция Гаусса-Крюгера). В зависимости от поставленных условий перехода на плоскость применяются разные проекции.

4.2.2. Классификация картографических проекций.

Картографические проекции группируют по характеру минимальных искажений, возникающих при переходе от сферического изображения территории на плоскость, а также по виду меридианов и параллелей нормальной сетки. Они бывают равновеликие, равноугольные, равнопромежуточные, произвольные. В равновеликих проекциях сохраняется равенство площадей, в равноугольных - форма контуров или горизонтальные углы. В равнопромежуточных проекциях сохраняется главный масштаб по одному из направлений: по меридиану или параллели. Для произвольных проекций характерно наличие всех видов искажений. В зависимости от вида геометрической поверхности, которую используют для получения проекции их подразделяют на азимутальные, цилиндрические и конические. В зависимости от вида нормальной сетки проекции также бывают:

- псевдоцилиндрические (параллели прямые, меридианы кривые, симметричные относительно среднего (осевого) прямолинейного меридиана;

- псевдоконические (параллели – дуги концентрических окружностей, а меридианы кривые, симметричные относительно среднего прямолинейного меридиана);

- поликонические, параллели которых - дуги концентрических окружностей с центрами на среднем, прямом меридиане, а меридианы - кривые, симметричные относительно среднего меридиана.

Кроме основных перечисленных проекций используются также другие. Например, в экваториальной части Земли используются поперечные картографические сетки, когда весь цилиндр лежит в плоскости экватора, а плоскость лежит между полюсом и экватором.

В названии каждой проекции включают слова, относящиеся к каждой классификации, например: равноугольная поперечно-цилиндрическая проекция Гаусса-Крюгера. Компьютерное моделирование позволяет быстро разрабатывать ту или иную проекцию с заданными параметрами, а автоматические графопостроители вычерчивают соответствующую сетку меридианов и параллелей.

На рис.1. приведены виды нормальной сетки в разных картографических проекциях.

4.2.3. Цилиндрические проекции.

Каждое семейство картографических проекций представляется математическими уравнениями. Например, уравнения цилиндрических проекций имеет вид:

где с – коэффициент пропорциональности.

Рис.1. Виды нормальной сетки: а – цилиндрическая проекция; б – коническая; в – азимутальная; г – псевдоцилиндрическая; д – псевдоконическая; е – поликоническая; ж – псевдоазимутальная.

Рис.2. Цилиндрические проекции: а) нормальная; б) нормальная проекция на секущем цилиндре; в) поперечная на касательном цилиндре; г) косая на касательном цилиндре.

Схема получения основных цилиндрических проекций представлена на рис.2.

Для цилиндрических проекций частные масштабы являются функцией широты, поэтому изоколы у них совпадают с параллелями.

По характеру искажений цилиндрические проекции могут быть равноугольными, равновеликими, равнопромежуточными вдоль меридианов, тогда как вдоль параллелей они быть не могут, т.к. проекция длины дуг параллелей – функция лишь долготы, а на эллипсоиде и долготы, и широты. В цилиндрических проекциях меридианы и параллели изображаются взаимно перпендикулярными прямыми. Цилиндрические проекции отличаются друг от друга лишь способами изображения параллелей. Рассмотрим некоторые из них.

Простая нормальная цилиндрическая проекция.

В ней меридианы изображаются без искажений, масштаб m =1. Параллели расположены на равных расстояниях, пропорциональных принятой разности широт, масштаб по параллелям n =sec φ. Проекция равнопромежуточная по меридиану; равнопромежуточная, равноугольная и равновеликая на экваторе. Масштаб на экваторе m=1; n=1, в других точках в виде эллипса, вытянутого по параллелям (m=1; n= sec φ). Полюс – прямая линия, сетка – квадратная.

Нормальная равноугольная цилиндрическая проекция была разработана в 1569 г. фламандским картографом Меркатором (m= n= sec φ, р= sec² φ, ω=0) и преимущественно использовалась в навигации, когда расстояние между точками изображается прямыми, называемыми локсодромией (линия, пересекающая все меридианы под постоянным углом). Картографическая сетка прямоугольная. Расстояния между параллелями возрастают от экватора. Проекция Меркатора имеет значительные искажения длин и площадей в высоких широтах.

Равноугольная поперечно-цилиндрическая проекция Гаусса-Крюгера, известна Вам при изучении систем координат, применяемых в геодезии. Проекция равноугольная, симметричная относительно осевого меридиана и экватора, равнопромежуточная и равновеликая на осевом меридиане m=n=1; в других точках только равноугольная:, где у – ордината точки, R – радиус кривизны.

4.2.4. Конические проекции.

Схемы создания конических проекций представлены на рис. 3.

Рис.3. Конические проекции: а - нормальна касательная, б - нормальная секущая, в – поперечная, г - косая.

В конических проекциях вершина конуса S является центром проекции, φ₀ – широта параллели касания, φ₁ и φ₂ – широты параллелей сечения. z –угол наклона оси конуса.

В конических проекциях меридианы изображаются прямыми, которые сходятся в полюсе проекции S под углом: , где с – коэффициент пропорциональности, – разность долгот. Параллели изображаются дугами концентрических окружностей с радиусом: , зависящими от широты сечения.

Из конических проекций наиболее известны нормальная равнопромежуточная проекция Птолемея, нормальна проекция Красовского, нормальная равнопромежуточная проекция Каврайского, равноугольная проекция Ламберта.

В простой конической проекции локальный масштаб по меридиану m=1, так как проекция равнопромежуточная. Локальный масштаб по параллели в точках касания φ₀ n=1. Во всех других сечениях параллелей n>1 и возрастает с удалением от параллели φ₀ на север и юг, т.е. т≠п, деформации изображаются эллипсом, вытянутым по параллели. Основной недостаток простой конической проекции – большие деформации углов.

Если касательный конус заменить секущим, деформации уменьшаются: по меридиану m=1; по параллелям в секущих плоскостях φ₁ и φ₂ m=n=1; а между этими сечениями n<1, за пределами сечений n>1. Данная проекция подходит для территорий вытянутых с запада на восток, секущей (касательной) параллелью принимают ту, что проходит через геометрический центр данной территории.

В нормальной равноугольной проекции локальный масштаб по меридиану и параллели равен m=n.

4.2.5. Азимутальные проекции.

Азимутальные проекции выражаются уравнениями:

x=ρcosa;

y= ρsina,

где ρ= f(z), а z и a – полярные сферические координаты.

Их применяют для создания мелкомасштабных карт. В этом случае поверхность Земли или другого небесного тела принимают за шар. Полюс системы координат, которая применяется, размещают, как правило, в центре территории картографирования.

Наиболее известны азимутальная равновеликая проекция Ламберта, равнопромежуточная проекция Постеля. В проекции Ламберта p=a_˙b=const=1. Она может быть представлена в трех вариантах картографической сетки: нормальном, поперечном и косом. В зависимости от варианта масштаб искажений на краю карты может меняться от 1 до 0,7 или от 1 до 1,4.

Равнопромежуточная проекция Постеля также может быть представлена в трех вариантах картографической сетки: нормальном, поперечном и косом. В этой проекции масштабы длин по радиусам от точки нулевых искажений не изменяются, а по перпендикулярным к ним направлениям возрастают от центра к краям примерно в 1,5 раза. Изменение площадей от 1 в центре до 1,57 на краю карты.

4.2.6. Распознавание проекций.

Под распознаванием проекций подразумевают установление ее названия и принадлежности к соответствующему виду.

Нормальные проекции распознаются по виду меридианов и параллелей. Чтобы выявить их равноугольность, равновеликость или равнопромежуточность, необходимы специальные измерения на карте. В начале устанавливают форму рамки, определяют, как изображаются полюса, потом измеряют расстояния между соседними параллелями вдоль по меридиану, площади соседних клеток сетки, углы пересечения меридианов и параллелей, характер их кривизны и т.д. Существуют таблицы, по которым ведется распознавание проекций для карт мира, полушарий, материков и океанов. Выполнив необходимые измерения по сетке, можно найти в таблице название проекции, чтобы получить информацию о ее свойствах.

4.3. Разграфка и номенклатура топографических карт.

Топографические карты на большие территории состоят из множества листов, которые имеют определенную разграфку, принятую для данного государства. Буквенно-цифровое обозначение листов карт в принятой разграфке называется номенклатурой. Может использоваться для установления территории, на которую создан лист карты. В зависимости от масштаба, номенклатура создается от общего к частному. В основе разграфки и номенклатуры топографических карт Украины приняты листы международной карты масштаба 1: 1 000 000, принятой в 1981 г. на V Международном географическом конгрессе в качестве «Международной миллионной карты мира». Согласно существующей международной разграфке территория Украины ограничена 20 градусами по широте и 48 градусами по долготе, содержит пояса К, L, M, N, O и колонны с 33 по 40. Каждый лист карты масштаба 1: 1 000 000 имеет размеры: D φ=4° и D λ =6°. Пояса идут от экватора к полюсу, колонны от Гринвича на восток. Номенклатура такого листа состоит из буквы и цифры. Например, для Киева это лист М-36. Последующие номенклатуры листов карт более крупного масштаба получают от деления листа масштаба 1: 1 000 000:

№	Номенклатура	Масштаб карты	Размер рамки	Количество листов	Деление рамки масштаба 1 000000 на части	Площадь территории одного листа км^2
D φ	D λ
	М-36	1:1 000000	4 º	6 º		-
	М-36-Г	1:500 000	2º	3º
	М-36-XXXVI	1:200 000	40′	1º
	M-36-144	1:100 000	20′	30′
	M-36-144-Г	1:50 000	10′	15′
	M-36-144-Г- г	1:25 000	5′	7′30′′
	M-36-144-Г- г- 4	1:10 000	2′30′′	3′45′′	-	-

Номенклатура карт кроме масштаба также тесно связана и с географическими координатами, что позволяет определять количество карт данного масштаба на определенную территорию. Номенклатура карт подписывается над северной рамкой карты, смежные листы карт подписываются на рамке с четырех сторон.

4.4. Принципы выбора проекций.

На выбор проекции влияют следующие факторы:

· географическое положение территории, ее конфигурация, размеры;

· назначение, масштаб, тема;

· способы создания, решаемые задачи, необходимая точность;

· вид картографической сетки.

Если на карте будет выполняться измерение углов - выбирают равноугольные проекции, площадей - равновеликие, углов и площадей - равнопромежуточные.

Исходя из географического положения и конфигурации территории, проекции выбирают:

· для карт мира - цилиндрические, псевдоцилиндрические и поликонические;

· для карт полушарий - азимутальные;

· для карт материков (Европы, Азии, Америки, Австралии) - равновеликие косые азимутальные проекции, для Африки - поперечные, а для Антарктиды - нормальные азимутальные;

· на каpтах океанов - цилиндрические, азимутальные, псевдоазимутальные;

· на морских и аэронавигационных картах используют цилиндрическую проекцию Меркатора;

· на территории близ экватора - нормальные цилиндрические;

· для вытянутых вдоль меридиана территорий - поперечные цилиндрические проекции;

· для стран со значительной протяженностью территории по параллели (Россия) – конические проекции;

· для Украины используется коническая равнопромежуточная проекция;

· для топографических карт наиболее широко используются поперечно-цилиндрические проекции Гаусса-Крюгера, в США - универсальная поперечно-цилиндрическая проекция Меркатора.

Дата добавления: 2014-01-07