Определение усилий в стержнях простейших ферм

Фермы, образованные из шарнирного треугольника путём последовательного присоединения узлов (причём каждый при помощи двух стержней, не лежащих на одной прямой), наз. простейшими. Такие фермы геометрически неизменяемы и статически определимы.

Если ферма в целом (Рис. 25,б) под действием каких-либо сил находится в равновесии, то и любой из её узлов (Рис. 29) также находятся в равновесии.

Рис. 29

На каждый узел действует система сил, пересекающихся в одной точке. Для такой системы сил можно написать лишь два уравнения статики.

Если ферма имеет узлов, то для них можно составить уравнений равновесия, при помощи которых должны быть найдены усилия во всех стержнях фермы и три неизвестные опорные реакции. Следовательно, ферма будет статически определима, если число стержней её :

.

В первую очередь определяются опорные реакции; для этого составляются три уравнения равновесия для всей фермы в целом.

Для определения внутренних усилий следует выделять сечениями узлы или отдельные части фермы и рассматривать условия их равновесия под действием внешних нагрузок и усилий в рассеченных стержнях. Всего можно составить таких условий.

Способы определения усилий:

4.2.1. Способ моментной точки – применяется тогда, когда удаётся рассечь ферму на 2 части так, чтобы перерезанными оказались три стержня, направления осей которых не пересекаются в одной точке (сеч.

Рис. 30, а) направления осей трёх таких перерезанных стержней пересекаются попарно в трёх точках (Рис. 30,б).

Рис.30

Составляя последовательно уравнения моментов внешних и внутренних сил, действующих на отсеченную часть фермы, относительно этих точек, получим уравнения, корнями которых являются усилия в стержнях, не проходящие через рассматриваемые точки. Точка, относительно которой составляется уравнение моментов, называется моментной.

О знаках условно - все усилия (неизвестные) в стержнях фермы - т.е. растягивающие и, следовательно, направлены от узлов.

Обозначим усилия в элементах верхнего пояса - , нижнего пояса - раскосах - стойках - Можно все усилия обозначать одинаково -

Найдём усилие в стержне (Рис. 30, а). Составим уравнение моментов относительно точки 4 - точки пересечения отсечённых стержней и (Рис. 30,б):

Здесь - момент всех внешних сил, приложенных к выделенной части фермы, относительно узла , равный изгибающему моменту в простой балке в сечении, соответствующем положению моментной точки (Рис. 31).

Рис. 31

Т. о., усилие в элементе нижнего пояса фермы равно отношению изгибающего момента (балочного) в соответствующем сечении простой балки к плечу Т.к. при нагрузке, действующей сверху вниз, всегда положителен, то и - положительно, т.е. стержень растянут.

Для элемента 2-4 моментной точкой будет узел 3 (Рис. 30, б):

Числитель дроби равен изгибающему моменту простой балки в сечении с абсциссой (узел 3), (Рис. 31). Знак минус говорит о том, что усилие отрицательно и стержень 2-4 – сжат. Можно доказать, что все элементы верхнего пояса, при нагрузке, действующей сверху вниз, будут сжаты.

Для элемента 3-4 моментная точка будет

Итак, при применении способа моментной точки величина усилия определяется выражением:

Для определения усилий в поясах более сложной фермы (Рис. 32) также применяют способ моментной точки.

Рис. 32

Если разрезать ферму по линии и составить уравнение моментов относительно узлов (Рис. 33), то:

Для определения усилия в элементе

Рис. 33

На Рис. 34 изображена сплошная ферма, тоже относящаяся к разряду простейших, усилия в поясах которой тоже могут быть найдены способом моментной точки. Для определения усилия в стержне 7-9 сделаем разрез пересекающий ещё пять стержней, сходящихся в одной общей точке 10. Составляя уравнение суммы моментов всех сил относительно точки 10 находим

Рис. 34

Для фермы сетчатого покрытия Шухова (Рис. 35) можно предложить следующую методику.

Рис. 35

Пусть требуется определить усилия в стержнях 1-2, 3-4 и 5-6. Для этого вырежем жесткий треугольник 2 3 6, причём вышеуказанные стержни пересечём сечением один раз, а стержни 1-4, 1-5 – два раза. Тогда выделенные части стержней 1-4 и 1-5 будут взаимно уравновешенны, а три неизвестных можно всегда определить способом моментной точки.

Т. о. можно сделать следующие выводы.

Способом моментной точки при расчёте ферм удобно пользоваться тогда, когда:

1. можно провести разрез, пересекающий кроме данного стержня (усилие в котором определяется), любое число стержней, сходящихся в одной точке, не лежащей на направлении оси данного стержня;

2. разрез пересекает более трёх стержней, не сходящихся в одной точке, если усилие во всех стержнях, кроме трёх, известны;

3. можно провести разрезы, пересекающие любое число стержней сверх трёх, если при этом каждый добавочный стержень пересекается дважды.

4.2.2. Способ проекций применяется главным образом в следующих двух вариантах:

a) рассматривается равновесие части фермы (как и при способе моментной точки), когда два из трёх рассечённых стержней параллельны друг другу.

б) рассматривается равновесие выделяемых из фермы узлов (способ вырезания узлов).

Определим усилия в элементах фермы (Рис. 36).

Рис. 36

Для определения разрежем ферму сеч. пересекая стержни Т.к. моментная точка для определения вследствие параллельности стержней инаходится в бесконечности (т.е. составить уравнение моментов невозможно), составим условие равновесия в виде суммы проекций всех сил, действующих на отсечённую часть фермы, на ось, поясам (Рис. 37),

Рис. 37

где - величина поперечной силы в простой балке.

Для определения усилия ферму (Рис. 36) разрежем сечением (Рис. 38).

Рис. 38

Тогда:

где- величина поперечной силы в простой балке, равная

При расчёте простейших ферм все усилия можно определить способом проекций, применяя его последовательно к каждому узлу. При этом нужно начинать с узла, в котором сходится не более двух стержней.

Вырежем узел 1 (Рис. 39) и уравновесим его силами (Рис.40).

Рис. 39

Тогда:

А т.к. здесь то

Для определения усилия напишем уравнение:

Можно проектировать силы на любую ось, скажем на (Рис. 40).

Рис. 40

В заключение можно сделать следующие замечания: при расчётах ферм способом моментной точки каждое усилие определяется при помощи одного уравнения с одним неизвестным. Причём в уравнение входят только действующие на ферму внешние силы и в уравнениях нет тригонометрических функций.

При расчёте фермы способом вырезания узлов усилия в ряде стержней можно найти только после предварительного определения усилий в других стержнях. В связи с этим случайная ошибка по определению усилия в одном стержне может стать цепной. Кроме того, в уравнениях присутствуют тригонометрические функции, что усложняет расчёт.

4.3. Диаграмма Максвелла – Кремоны

а) б)

Рис. 41

Каждому узлу, вырезанному из фермы (Рис.41 ,а,б) соответствует силовой многоугольник (Рис. 42),

Рис. 42

Из него ясно, что стержень - сжат, а - растянут.

Максвелл предложил объединить все эти многоугольники при помощи «взаимных диаграмм», развитых, в дальнейшем, Кремоной.

Поставим задачу – соединить все силовые многоугольники в одну фигуру, и притом так, чтобы каждая сила встречалась на чертеже только один раз.

Рассмотрим трёхпанельную ферму (Рис. 43) не имеющую опор и нагруженную уравновешенной системой внешних сил.

Рис. 43

Линии действия внешних сил и опорных реакций можно рассматривать как бесконечно длинные растянутые или сжатые стержни. Оси всех этих стержней (и реальных) разбивают чертёж на зоны, которые обозначим (Рис. 38). Будем обозначать каждую прямую двумя буквами (или цифрами), обозначающими те два поля, которые разграничиваются этой прямой.

Построим силовой многоугольник для внешних сил (Рис. 44) обходя ферму по часовой стрелке . Затем перейдём к определению усилий в стержнях.

Рис. 44.

Начинаем с узла (Рис. 43). Из точки (Рис.44) проводим параллельную стержню из Место пересечения - и т.д.

Знаки всех усилий получаются из диаграммы по закону непрерывного течения сил. Например, обходим узел (Рис. 43).

- обходим по направлению Т.е., стрелка у - вправо, а у - влево стержень - растянут, а - сжат.

Рассмотрим другой пример (Рис. 45) фермы опёртой в крайних узлах на шарниры.

Вначале определим аналитически или графически величины и направление опорных реакций.

Рис. 45

После этого, отложив силы и реакции, строим диаграмму (Рис. 46).

Рис. 46

Дата добавления: 2014-01-07