Расчет средней арифметической в рядах распределения

Если значения осредняемого признака заданы в виде интервалов («от - до»), т.е. интервальных рядов распределения, то при расчете средней арифметической величины в качестве значений признаков в группах принимают середины этих интервалов, в результате чего образуется дискретный ряд. Рассмотрим следующий пример (табл. 5.3).

Таблица 5.3 Распределение рабочих АО но уровню ежемесячной з.платы труда в. 2000 г.

Группы рабо­чих по оплате труда, дол.	Число рабочих, чел. х	Середина интер-вала дол. f	W= x*f
До 500			2 250
500-600			8 250
600-700			13 000
700-800			22 500
800-900		850.	13 600
900 и более			13 300
Итого		■ -	72 900

От интервального ряда перейдем к дискретному путем замены интервальных значений их средними значениями (простая средняя между верхней и нижней границами каждого интервала). При этом величины открытых интервалов (первый и последний) условно приравниваются к интервалам, примыкающим к ним (второй и предпоследний).

При таком исчислении средней допускается некоторая неточность, поскольку делается предположение о равномерности распределения единиц признака внутри группы. Однако ошибка будет тем меньше, чем уже интервал и чем больше единиц в интервале.

После того как найдены середины интервалов, вычисления делают также, как и в дискретном ряду, варианты умножают на частоты (веса) и сумму произведений делят на сумму частот (весов), дол. Итак, средний уровень оплаты труда рабочих АО составляет 729 дол. в месяц.

Вычисление средней арифметической часто сопряжено с большими затратами времени и труда. Однако в ряде случаев процедуру расчета средней можно упростить и облегчить, если воспользоваться ее свойствами. Приведем (без доказательства) некоторые основные свойства средней арифметической.

Свойство 1. Если все индивидуальные значения признака (т.е. все варианты) уменьшить или увеличить в i раз, то среднее значение нового признака соответственно уменьшится или увеличится в i раз.

Свойство 2. Если все варианты осредняемого признака уменьшить или увеличить на число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на это же число А.

Свойство 3. Если веса всех осредняемых вариантов уменьшить или увеличить в к раз, то средняя арифметическая не изменится.

В качестве весов средней вместо абсолютных показателей можно использовать удельные веса в общем итоге (доли или проценты). Тем самым достигается упрощение расчетов средней.

Для упрощения расчетов средней идут по пути уменьшения значений вариантов и частот. Наибольшее упрощение достигается, когда в качестве А выбирается значение одного из центральных вариантов, обладающего наибольшей частотой, в качестве – величина интервала (для рядов с одинаковыми интервалами). Величина А называется началом отсчета, поэтому такой метод вычисления средней называется «способом отсчета от условного нуля» или «способом моментов».

Допустим, что все варианты «x» сначала уменьшены на одно и то же число А, а затем уменьшены в / раз. Получим новый вариационный ряд распределения новых вариантов х±.

х — А Тогда новые варианты будут выражаться: х± = —;—, а их новая средняя арифметическая щ — момент первого порядка — формулой тх = ^ \ и будет равна средней из первоначальных вариантов, уменьшенной сначала на А, а затем в i раз,

т.е.,

Для получения действительной средней надо момент первого порядка х умножить на i и прибавить

Данный способ вычисления средней арифметической из вариационного ряда называют «способом моментов». Применяется этот способ в рядах с равными интервалами.

Расчет средней арифметической по способу моментов иллюстрируется данными табл.5.4.

о

Таблица 5.4

Распределение малых предприятий региона по стоимости основных производственных фондов (ОПФ) в 2000 г.

Группы предприятий	Число	Середины	х-А
по стоимо­сти ОПФ, млн тг.	предприятий	интервалов X
14-16 16-18	2 6		-2 -1	-4 -6 '
18-20.		19.
20-22 22-24	4 3			4 ' 6
Итого		■ -	-

Находим момент первого порядка

тем, принимая А =19 и зная, что i =2, вычисляем х, млн x = mli + A = 0-2 + 19 = 19.

Итак, средняя стоимость основных производственных фондов малых предприятий региона составляет 19 млн тг.

Применение способа моментов настолько облегчает расчеты, что позволяет их выполнять без использования вычислительной техники даже при больших и многозначных числах, характеризующих индивидуальные значения осредняемых показателей.

Дата добавления: 2014-01-07