Непараметрические методы

JOCT

где т — число параметров в уравнении регрессии.

Полученное значение — критерия F_pac4 сравнивают с критическим (табличным) для принятого уровня значимости 0,05 или 0,01 и чисел степеней свободы vj= т — 1 и Уг= п-т. Если оно окажется больше соответствующего табличного значения, то данное уравнение регрессии статистически значимо, т.е. доля вариации, обусловленная регрессией, намного превышает случайную ошибку.

Принято считать, что уравнение регрессии пригодно для практического использования в том случае, если F_pac4> Р_Т!&_Л не менее чем в 4 раза.

Для оценки значимости коэффициентов регрессии при линейной зависимости }/ от ^ _и xj — (двух факторов) используют f-критерий Стьюдента при п-т-1 степенях свободы:

_t V¹ ~

'в, -

(9.21,а)

(9.21, б)

Существенность совокупного коэффициента корреляции определяют по формуле:

(9.22) ^:

Значения оцениваемых «i, aj, Щх_1Хг берутся по модулю.

Если в уравнении все коэффициенты регрессии значимы, то данное уравнение признают окончательным и применяют в каче­стве Модели изучаемого показателя для последующего анализа.

Оценку значимости коэффициентов регрессии с помощью /-критерия используют для завершения отбора существенных факторов в процессе многошагового регрессионного анализа. Он заключается в том, что после оценки значимости всех коэффициентов регрессии из модели исключают тот фактор, коэффициент при котором незначим и имеет наименьшее значение критерия. Затем уравнение регрессии строится без исключенного фактора, и снова проводится оценка адекватности уравнения и значимости коэффициентов регрессии. Такой про­цесс длится до тех пор, пока все коэффициенты регрессии не окажутся значимыми, что свидетельствует о наличии в регрессионной модели только существенных, факторов. В некоторых случаях расчётное значение /_расч находится вблизи /^л, поэтому с точки зрения содержательности модели такой фактор можно оставить для последующей проверки его значимости в сочетании с другим набором факторов.

Последовательный отсев несущественных факторов рассмотренным выше приемом (или последовательным включением новых факторов) составляет основу многошагового регрессионного анализа.

Проверим адекватность построенной двухфакторной модели производительности труда по /"-критерию Фишера:

т-1'

8,86 2-1

Табличное значение /"-критерия при доверительной вероятности 0,95, т.е. (1—0,05) при v\ = т —1=2—1 = 1; V2 = п-т = 20 — 2 = 18 составляет 4,41.

Поскольку Р_Расч^>^табл₎ уравнение регрессии;

Ух_хх_г =81,03-0,4ljq + Ъ$1х<1 следует признать адекватным.

Значимость а.\, а^ и Кух,х₂ оценим /-критерием Стьюдента:

0,41 • 4, 53 -VI -(-0,609)*-У 2 0- 2- 1 6,15

,37 • 1,05 • ^1 - (-0~609)^ • V20 - 2 -1 5,66-^1-0,744

«4,03;

11,36 2,8.3

3,54

0,863

*

1-0,744 0,256

Табличное значение /-критерия при 5 %-ном уровне значимости и 17 степенях свободы (п-т = 20—2—1 = 17) составляет 2,11. Так как соответствующие t_paD4> ^_л, оба фактора ajп2 и совокупный коэффициент корреляции Ryx_lXl следует признать значимыми (существенными).

Таким Образом, построенная регрессионная модель npoизводительности труда y_Xlx₁ = 81,03 - 0,4bci+3,37jC2 пригодна для практического применения. Она может быть использована длявыявления резервов повышения производительности труда,

Экономическая интерпретация многофакторной регрессионной модели. Анализ коэффициентов уравнения множественной регрессии: Ух,х₂ = в 1,03 -0,41Х|+ 3,37x2 позволяет сделать вывод о степени влияния каждого из двух факторов на показатель производительности труда. Так, параметр й| = -0,41 свидетельствует о том, что с увеличением продолжительности внутрисменных простоев на 1 мин следует ожидать снижения производительности труда (дневной выработки деталей одним рабочим) на 0,41 шт. (обратная связь). Повышение же квалификации рабочего на 1 разряд может привести к увеличению выработки на 3,37 детали.

Отсюда можно сделать соответствующие практические выводы и осуществить мероприятия, направленные на повышение производительности труда.

Однако на основе коэффициентов регрессии нельзя сказать какой из факторных признаков оказывает наибольшее влияние на результативный признак, так как коэффициенты регрессии между собой не сопоставимы, поскольку они измерены разными единицами. На их основе нельзя также установить в развитии каких факторных признаков заложены наиболее крупные презервы изменения результативного показателя, потому что в коэффициентах регрессии не учтена вариация факторных признаков.

Чтобы иметь возможность судить о сравнительной силе (влияния отдельных факторов и о тех резервах, которые в них заложены, должны быть вычислены частные коэффициенты эластичности Э,-, а также бета-коэффициенты р,-.

Различия в единицах измерения факторов устраняют с помощью частных коэффициентов эластичности, которые рас­считывают по формуле:

Э,-=а,-^-_; (9.23)

где а_{ - коэффициент регрессии при / -м факторе; х,- — сред­нее значение /-го фактора; y_t — среднее значение изучаемого показателя.

Частные коэффициенты эластичности показывают, на сколько процентов в среднем изменяется анализируемый пока­затель с изменением на 1 % каждого фактора при фиксированном положении других факторов.

Для определения факторов, в развитии которых заложены наиболее крупные резервы улучшения изучаемого показателя, необходимо учесть различия в степени варьирования вошедших в уравнение факторов. Это можно сделать с помощью р - коэффициентов, которые вычисляют по формуле:

■p,-=fl^, (9.24)

где а_х. — среднее квадратическое отклонение /-го фактора; а у — среднее квадратическое отклонение показателя; Р -коэффициент показывает на какую часть среднего квадрати-ческого отклонения изменяется результативный признак с из­менением соответствующего факторного признака на величину его среднего квадратического отклонения.

п

Исходя из соотношения ]Г р,- r^=R и принимая во внимание,

что коэффициент множественной детерминации R есть доля изучаемых факторов в наличном приращении результатив­ного показателя в анализируемой совокупности, можно сделать вывод, что произведение р,-г,-(1 </< и) является показателем силы

влияния соответствующего фактора на данный показатель.

Поделив произведение p,-/j на коэффициент множествен­ной детерминации R², получим коэффициент, который показывает какова доля вклада анализируемого фактора в суммарное влияние всех отобранных факторов. Обозначив этот коэффициент А,-, получим

R²

(9.25)

Рассчитаем для нашего примера коэффициенты эластичности Э,, а также коэффициенты р,- и Д/, дадим им экономиче­скую интерпретацию:

х~\ И х7 4

3i = а\ -=- = —0,41——■«-0,05; Эт = а₂ -=- = 3,37— «0,15.

у 90 У 9

Анализ частных коэффициентов эластичности показывает, что по абсолютному приросту наибольшее влияние на произво­дительность труда оказывает фактор х₂ — повышение квалификации рабочих на 1 % приводит к росту производительности труда на 0,15 %. Снижение же продолжительности внутрисменных простоев на 1 % повышает производительность труда только на 0,05 %:

«0,62.

сг ' 4 53

а,,

5,66

* 5,66

Анализ р,- -коэффициентов показывает, что на производительность труда наибольшее влияние из двух исследуемых фак­торов с учетом уровня их вариации способен оказать фактор х₂ — квалификация рабочих, так как ему соответствует наибольшее (по абсолютной величине) значение р -коэффициента:

На основании анализа Д,- -коэффициентов установлено, что наибольшая доля прироста производительности труда из двух анализируемых факторов может быть обеспечена развитием такого фактора, как повышение квалификации рабочих.

Таким образом, на основании частных коэффициентов эластичности Э^, р,-- и А,--коэффициентов можно судить о резервах роста производительности труда, которые заложены в том или ином факторе.

Увеличение числа существенных факторов, включаемых в модель исследуемого показателя, позволяет выявить дополнительные резервы производства. Для этого могут быть использованы трех-, четырех- (и т.д.), и -факторные регрессии.

Трехфакторные линейные регрессионные модели. В случае линейной трехфакторной связи уравнение регрессии имеет вид

+

У_Х1х₂х₃ =

Для расчета параметров по способу наименьших квадра­тов используют следующую систему нормальных уравнений:

(9.26)

Чтобы получить эту систему, необходимо иметь таблицу значений следующих показателей:

^х\ >^Х2 > ^хз j У^ъУ*-!>У^З' ^xi^xi\ ^хй! ^Х2^хз •

^хъ^Х2>

Для решения множественной регрессии с и -факторами ■Ух, хт х =ао^+а1^х1^+а2^л:2⁺---^+аи^хи система нормальных уравнений такова:

(9.27)

Вручную целесообразно выполнять построение и анализ только двух-, максимум трехфакторных моделей. Для п >3 все расчеты рекомендуется осуществлять на компьютерах по спе­циальным программам, предусматривающим исчисление параметров уравнения и показателей, используемых для проверки его адекватности.

Многофакторный корреляционный и регрессионный анализ может быть использован в экономико-статистических ис­следованиях:

© для приближенной оценки фактического и заданного уровней;

° в качестве укрупненного норматива (для этого достаточно в уравнение регрессии подставить вместо фактических значений факторов их средние значения);

^в для выявления резервов производства;

° для проведения межзаводского сравнительного анализ и выявления на его основе скрытых bo3moxhoctcj предприятий;

^в для краткосрочного прогнозирования развития производства и др.

Применение корреляционного и регрессионного анализа требует, чтобы все признаки были количественно измеренными Построение аналитических группировок предполагает, что количественным должен быть результативный признак. Параметрические методы основаны на использовании основных количественны* параметров распределения (средних величин и дисперсий).

Вместе с тем в статистике применяются также непараметрические методы, с помощью которых устанавливается связь между качественными (атрибутивными) признаками. Сфера их применения шире, чем параметрических, поскольку не требуется соблюдения условия нормальности распределения зависимой переменной, однако при этом снижается глубина исследования связей. При изучении зависимости между качественными признаками не ставится задача представления ее уравнением. Здесь речь идет только об установлении наличия связи и измерении ее тесноты.

В практике статистических исследований приходится иногда анализировать связи между альтернативными признаками, представленными только группами с противоположными: (взаимоисключающими) характеристиками. Тесноту связи в; этом случае можно оценить, вычислив коэффициент ассоциации.;

^:|

Для расчета коэффициента ассоциации строится четырехклеточная корреляционная таблица, которая носит название: таблицы "четырех полей " и имеет следующий вид: I

а	b	a+b
с	d	c+d
а+с	b+d	a+b+c+d

Применительно к таблице "четырех полей" с частотами а, Ъ, си d коэффициент ассоциации выражается формулой:

b)(c+d)(a+c)(b+d)

Коэффициент ассоциации изменяется от — 1 до +1; чем ближе к +1 или — 1, тем сильнее связаны между собой изучае­мые признаки.

Если к_а не менее 0,3, то это свидетельствует о наличии

связи между качественными признаками.

Пример. Имеющиеся данные о росте отцов и сыновей

представлены в табл. 9.5.

Таблица 9.5

Всего

Рост отца

Распределение отщов и сыновей по росту, чел.
1 — г |—

Рост сына

Ниже среднего

Выше сре д него

90 1J0

70 30

Ниже среднего Выше среднего

20 80

Итого

Подсчитаем коэффициент ассоциации по данным табл. 9.5:.;

70-80-30-20... ■ '.

к_а-. «0,51.

л/90-110400-100

Поскольку к_а >0,3, между ростом отцов и сыновей существует корреляционная связь.

Если по каждому из взаимосвязанных признаков выделяется число групп более двух, то для подобного рода таблиц теснота связи между качественными признаками может быть измерена с помощью показателя взаимной сопряженности А.А. Чупрова:

ф'

(9.29)

⁹

где ki — число возможных значений первой статистической величины (число групп по столбцам); &~ - число возможных значений второй статистической величины (число групп по строкам); ср² — показатель взаимной сопряженности (определяется как сумма отношений квадратов частот клетки таблицы распределения к произведению итоговых частот соответствующего столбца и строки).

Вычтя из этой суммы единицу, получим <р².

Коэффициент взаимной сопряженности А.А. Чупрова изменяется от 0 до 1, но уже при значении 0,3 можно говорить о тесной связи между вариацией изучаемых признаков.

Пример. Данные об уровне образования членов 100 семей приведены в табл. 9.6.

Таблица 9.6 Распределение семей по уровню образования мужа и жены

Образование	Образование жены	Итого
мужа	. неполное среднее	среднее и среднее специальное	высшее	А	В
Неполное среднее	15 (225) 9,375	11 (121) 2,373	2 (4) 0,160	28 19,08	0,425
Среднее и среднее специальное	8 (64) 2,666	32 (1024) 20,078	8 (64) 2,560	48 25,304	0,527
Высшее	(1) 0,042	8 (64) 1,255	15 (225) 9,00	24 10,297	0,429
Итого					1,381
Примечание: частоты — верхние строки; их квадраты (в скобках) — средние строки; квадраты частот, деленные на суммы частот по столбцу — нижние строки; в итоговых столбцах — сумма частот, сумма результатов деления (А), а также результат деления нижнего числа на верхнее — последний столбец (3).

Тогда ф² =1,381-1=0,381; ^ =£₂ =3. Коэффициент взаимной сопряженности А;А.Чупрова и - °>³⁸¹

Его значение показывает заметную связь между уровнями образования мужа и жены при формировании семьи.

Контрольные вопросы

1. В чем состоит отличие между функциональной

и стохастической связью?

Что собой представляет корреляционая связь?

2. Какими статистическими методами исследуются
функциональные и корреляционные связи?

3. В чем достоинства и недостатки метода параллельных
рядов и аналитических группировок?

4. Какие основные задачи решают с помощью
корреляционного и регрессионного анализа?

5. Дайте определение статистической модели.

6. Охарактеризуйте основные проблемы и правила
построения однофазной линейной регрессионной модели.

7. В чем состоит значение уравнения регрессии?

9. Что характеризуют коэффициенты регрессии?

10. Метод определения параметров уравнения регрессии.

11. Зачем необходима проверка адекватности регрессионной
модели?

1. Предмет н метод статистики

1.1. Статистика как наука

1.2. Предмет статистики

1.3. Методология статистики.

1.4. Основные категории статистики

Контрольные вопросы

Глава 2. Источники статистической информации

2.1. Статистическая информация и ее распространение

2.2. Статистическое наблюдение ^,
Контрольные вопросы

Глава 3. Сводка и группировка материалов статистического наблюдения

3.1. Сводка статистических данных

3.2. Задачи и виды группировок

3.3. Выполнение группировки по количественному
признаку

3.4. Статистические ряды распределения
' Контрольные вопросы

Глаза 4. Абсолютные и относительные статистические величины

4.1.Абсолютные статистические величины

4.2.Относительные статистические величины

. Контрольные вопросы

Глава 5. Средние величины и показатели вариации

5.1. Понятие о средних величинах

5.2. Виды средних и способы их вычисления

5.3. Показатели вариации
Контрольные вопросы

Глава 6. Выборочный метод в статистике.

6.1. Понятие о выборочном наблюдении, его задачи

6.2. Ошибки выборки

6.3.Распространение выборочных результатов на генеральную совокупность

Контрольные вопросы

Глава 7. Статистическое изучение динамики

7.1.Понятие о рядах динамики

7.2.Правила построения рядов динамики

7.3.Показатели анализа ряда динамики

7.4. Методы анализа основной тенденции развития в рядах
динамики

7.5.Методы изучения сезонных колебаний

7.6. Экстраполяция в рядах динамики и прогнозирование
Контрольные вопросы

Глава 8. Экономические индексы

8.1.Индексы и их классификация

8.2.Общие индексы количественных показателей

8.3. Общие индексы качественных показателей

8.4.Индексы средних величин

8.5. Базисные и цепные индексы

8.6. Индексы-дефляторы

. 8.7. Индексный метод анализа факторов динамики Контрольные вопросы

Глава 9. Статистические методы изучения взаимосвязи социально-
экономических явлений

9.1 Стохастико-детерминировакный характер социально-
экономических явлений и виды связей между ними

9.2 Статистические методы моделирования связи

9.3 Непараметрические методы

Контрольные вопросы

Список рекомендуемой литературы

Дата добавления: 2014-01-07