Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Композиция отображений




Отображения фигур на плоскости.

Определение 1: формулы связывающие координаты x/, y/ образа М/ произвольной точки М и ее координаты x, y относительно выбранной (аффинной или прямоугольной декартовой) системы координат О xy, называются формулами или уравнениями соответствующего отображение.

Определение 2: отображения фигуры F называется тождественным, если все точки фигуры F являются тождественными (двойными).

Обозначение: ε; ε(F)=F; формулы: ε:

 
 
 
 
 
 
 
 
/
/
/
/
/
Определение 3: параллельным переносом фигуры F называется ее отображение, при котором все ее точки смещаются на одно и тоже расстояние в одном направлении.

 

Если обозначить, то говорят о параллельном переносе на вектор α и пишут: F/= (F).

Выведем формулы параллельного переноса.

Пусть, М(x; y), М/(x/; y/). Тогда - по определении 3 или в координатах

 

Определение 4: поворотом фигуры F вокруг центра С на направленный угол α называется ее отображение, при котором:

1) точка С является неподвижной;

2)

α
М/
М
любая точка М F отображается на такую точку М/, что СМ=СМ/ и.

Обозначение:

 

С

 


Определение 5: центральной симметрией с центром С называется поворотом вокруг центра С на угол α=π.

Обозначение: М/=ZC(M)=.

У
Пример 1: пусть С=О (0;0), тогда имеем:

У
М
x/
x
У/
x
M/
О С

 

 

Определение 6: осевой симметрией c осью р называется отображение фигуры F, при котором ее любая точка М отображается на точку М/, симметричную точке М относительно прямой р.

N
F
M
M/
M0
N0
F/
K
K0
K/
ММ/ р, М0=ММ/∩р,

ММ00М/.

Р – прямая неподвижных точек

(например, точки М0, N0, K0).

Обозначение: М/=Sр(М).

 

у
у
у/
х
М
М0
М/
 
х/
х=х/
р

 


Пример 2: р=Ох

Sох:

у
у
 
у/
у/
х/
х

 


Пример 3: р=Оу

Sох:

 

Определение: Композицией или произведением отображений f1 и f2 называется отображение f, являющиеся результатом последовательного выполнения системы отображения f1, затем f2.

M
f1
f2
f = f2 ° f1
M/
M//
Обозначение: f = f2 ° f1.

М/= f1 (M); М//= f2 (M);

М//= f2 °(f1 (M))= (f2 ° f1)(M).

 

Примеры:

1) е – тождественное отображение, f – произвольное отображение, тогда имеем:

β
α
α+β
М
М/
М//
С
е° f = е;

2) f1 =, f2 =, тогда имеем:

° =

 

 

3) f1 =ZC= f2, тогда имеем:

ZC°ZC= ° = = =e =e.

4) f1 = 21 =

Найдем формулы композиции f2 ° f1.

M(х;у)
f1
f2
f = f2 ° f1
M///)
M//////)
М/= f1 (M):

 

М//= f2 (M/):

М//= f2 (f1 (M))= (f2 ° f1)(M): ⇒ f2 ° f1:

 

Координаты исходной точки фигуры обозначают через x и y, а ее образа – x/, y/. Поэтому удобнее следующая запись:

f2 ° f1: f1 ° f2:

Теорема: для композиции отображений справедлив ассоциативный (сочетательный) закон:

f3 °(f2 ° f1)= (f3 ° f2f1 (1)

Доказательство.

M/
M//
M
M///
f2
f1
f
f3
f2°f1
f3°f2
Пусть М – произвольная точка фигуры F и М M/, М/ M//, М// M///.

 

 

М//= f2 ° f1 (M), М///= f3 (M//)⇒

М///= f3 °(f2 ° f1)(M) (2)

М/= f1 (M), М///=(f3 ° f2)(M/)⇒

М///=(f3 ° f2f1 (M) (3)

Тогда имеем М М//, М// М///, то есть с одной стороны М М///, с другой стороны М М/, М/ М///, то есть М М///.

В следствии произвольного выбора точки М фигуры F из соотношений (2) и (3) следует формула (1).

Замечание: коммутативный закон для композиции отображений иногда справедлив, иногда – нет, то есть в общем случае: f2 ° f1f1 ° f2.

Примеры:

1) ° =

° =

° = °

 

2) f1 =Sp, f2 =Sq, p q (p и q различны и p q)

М
М/
М1//
р
q
М1/
М//
M М/ М//

M М1/ М1//

М1// M//⇒ Sq° Sp Sp° Sq.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 508; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.013 сек.