Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Изоморфизм аффинных пространств

Пусть имеется отображение аффинного пространства на аффинное пространство , при котором для точек M, N An =(M), =(N), причем – некоторое отображение векторного пространства на векторное пространство : : .

 

Определение 1: отображение называется ассоциированным с отображением , если при любом выборе точек M и N оно отображает вектор на вектор :

 

= ().

 

Определение 2: взаимно однозначное отображение аффинного пространства An на аффинное пространство называется изоморфизмом, если существует ассоциированное с ним изоморфное отображение пространства на пространство (оно биективно и (+)=()+(), (k) = k() – линейно).

 

Определение 3: аффинные пространства An и называются изоморфными, если существует изоморфное отображение одного из них на другое: () = или .

 

Теорема (Признак изоморфизма аффинных пространств): для того, чтобы два аффинных пространства и были изоморфны, необходимо и достаточно, чтобы их размерности были одинаковыми.

 

Необходимость. Пусть пространства и изоморфны, тогда по определению (2) связанные с ними векторные пространства также изоморфны и поэтому имеют одинаковые размерности; но тогда совпадают и размерности пространств An и , то есть n = m.

 

Достаточность. Пусть аффинные пространства и имеют одну и ту же размерность n, докажем, что они изоморфны.

Введем в этих пространствах аффинные системы координат и устроим биективное отображение пространства An на пространство следующим образом: M(xi) An(xi) xi = , (i = 1, 2, …, n).

Покажем, что отображение есть изоморфизм.

Рассмотрим отображение пространств и , связанных с An и , при котором соответствующими считаются векторы, которые имеют во введенных аффинных системах одинаковые координаты. Это отображение является ассоциированным с отображением . Действительно, пусть образами точек M(xi) и N(yi) при отображении являются соответственно точки () и (). Так как xi = и yi = , то имеем: =(yi - xi)=(- )= то есть вектор является образом вектора при отображении .

Докажем, что - изоморфное отображение на . Так как оно биективно, то достаточно убедиться в его линейности.

Пусть , , тогда , , a так как и , то , следовательно, вектор является образом вектора при .

Аналогично, образом вектора является вектор . Итак, отображение : - изоморфизм. Согласно определениям (2) и (3) пространства и изоморфизмы. ■

 

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Многомерные плоскости | Аффинные преобразования
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 374; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.756 сек.