Преобразование Лапласа

Преобразование Лапласа представляет собой интегральное уравнение, связывающее функцию действительной переменной времени и функцию комплексной переменной р:

(6.12)

Это уравнение называется прямым преобразованием Лапласа, в котором L является условным обозначением этого преобразования, называется оператором, - оригиналом, а - изображением.

Вместо (6.12) соответствие между функциями и может записываться и так:

Для того, чтобы можно было провести преобразование (6.12), функция при >0 должна за любой конечный промежуток времени иметь конечное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов, а также иметь ограниченный порядок возрастания. То есть для данной функции можно указать такие положительные числа А и a, при которых < .

Поэтому при a< а = Re (р)

(6.13)

При этих ограничениях интеграл (6.14) существует, а значит можно найти операторное изображение функции . Следует отметить, что для постоянных, синусоидальных и для большинства других видов используемых токов и напряжений эти ограничения выполняются, т.е. для их расчета в переходном процессе применим операторный метод.

Оригинал по известному изображению может быть найден с помощью обратного преобразования Лапласа:

(6.14)

где - условное обозначение этого преобразования.

Следовательно, интегрирование функции времени соответствует в операторной форме делению изображения этой функции на оператор р. Изображение некоторых функций, наиболее часто встречающихся в задачах электротехники, приведены в табл. 6.1. Подробные таблицы соответствия оригиналов и изображений приведены в специальных справочниках.

Таблица 6.1

Оригинал f (t)	Изображение F(p)

6.2.3.Операторные уравнения и схемы замещения элементов R, L, C

Операторные уравнения для элементов электрической цепи L, R, C получим в результате преобразования по Лапласу уравнений для мгновенных значений токов и напряжений.

1. Активное сопротивление R.

Уравнение для мгновенных значений имеет вид:

(6.15)

Преобразуя это уравнение и учитывая свойство линейности интегрального преобразования, получим операторное уравнение

(6.16)

где

Активное сопротивление R и соответствующее ему операторное сопротивление, как следует из (6.16), равны. Схемы, соответствующие уравнениям (6.15) и (6.16), представлены на рис. 6.4.

i (t) R I (p) R

«

u (t) U (p)

Рис. 6.4

2. Индуктивный элемент L.

Уравнение индуктивности для мгновенных значений имеет вид:

Преобразуя это уравнение и учитывая соответствующее соотношение, приведенное в табл. 6.1, получим операторные уравнения для индуктивности:

. (6.17)

Выражениям (6.17) соответствуют операторная эквивалентная схема (рис. 6.5). Величина pL называется индуктивным операторным сопротивлением, - индуктивной операторной проводимостью. Начальное значение тока в индуктивности i_L (0) учитывается в виде дополнительного источника ЭДС E_L. При нулевых начальных условиях дополнительный источник в операторном уравнении (6.17) и соответственно на схеме замещения индуктивности отсутствует.

L I (p) pL

«

Рис. 6.5

3. Емкостной элемент С.

Уравнение емкости для мгновенных значений имеет вид:

(6.18)

Преобразуя это уравнение

и учитывая соответствующее соотношение, приведенное в табл. 6.1, получим операторное уравнение для емкости:

. (6.19)

На рис. 6.6 представлена схема, соответствующая уравнению (6.18) для мгновенных значений токов и напряжений и уравнениям (6.19) для операторных токов и напряжений. Величина называется емкостным операторным сопротивлением, рС – емкостной операторной проводимостью. Начальное значение напряжения учитывается, как видно из уравнений (6.19) и рис. 6.6, в виде дополнительного источника ЭДС .

С «I (p) 1/ pC

Дата добавления: 2014-01-07