Методические указания. Перед решением задачи необходимо изучить материал курса, относящийся к расчету переходных процессов в линейных цепях классическим методом [1]

Перед решением задачи необходимо изучить материал курса, относящийся к расчету переходных процессов в линейных цепях классическим методом [1], с. 129…148 или [2], с. 189…230.

Расчет переходных процессов классическим методом рекомендуется выполнять в следующей последовательности:

1. Определить начальные условия переходного процесса, т.е. значения тока в индуктивном элементе и напряжение на емкостном элементе в докоммутационной цепи в момент, непосредственно предшествующий моменту коммутации.

2. Для цепи, образовавшейся после коммутации, составить дифференциальное уравнение на основании законов Кирхгофа и уравнений связи между мгновенными током и напряжением в элементах R, L и C.

При этом для цепей с емкостью составляем уравнение, в котором неизвестной функцией является напряжение на емкости, для цепей с индуктивностью – неизвестной функцией является ток в индуктивности.

3. Находим решение дифференциального уравнения п. 2 в виде суммы установившейся и свободной составляющих, например, для тока:

i_L = i_LУ + i_LСВ.

При этом сначала находим установившуюся составляющую, а затем свободную составляющую в виде экспоненциальной функции, для которой определяется степенной показатель l (величина, обратная постоянной времени цепи) и постоянная интегрирования на основании начальных условий и законов коммутации.

Рис. 7

Пример 7. В цепи постоянного тока (рис. 7, а) происходит коммутация. Параметры цепи и величина постоянного напряжения известны: 10 Ом, L =10 мГн, U =10 B. Определить ток i (t) в цепи и напряжение на индуктивном элементе u_L (t) в переходном режиме классическим методом.

Решение. 1. Определяем начальные условия, т. е. ток i_L (–0) в индуктивном элементе в докоммутационной цепи:

2. Составим по второму закону Кирхгофа уравнение и, используя уравнения связи между мгновенными i (t) и u (t), приведем его к дифференциальному виду, в котором неизвестным является искомый ток в цепи i (t) = i_L (t):

3. Находим решение дифференциального уравнения в виде суммы установившегося тока i _У и свободного тока i _СВ:

i = i _У+ i _СВ,

где установившийся постоянный ток в цепи равен

i _У = U/R ₂ = 10/5 = 2 А,

а свободный ток определяется из решения однородного дифференциального уравнения:

в виде i _СВ = A e^{l t} , где l = - R ₂/ L = 5×10² – корень характеристического уравнения

L l + R ₂ = 0.

Таким образом, решение дифференциального уравнения принимает вид:

4. Находим постоянную интегрирования A с учетом начального условия и закона коммутации:

i_L (–0) = i_L (+0) = 1 А.

Подставив в решение дифференциального уравнения t = 0 и полученное значение i (0) = 1, получим 1 = 2+ A, откуда A = –1.

В результате этого выражение для мгновенного тока в переходном режиме принимает вид:

А.

Подставив в уравнение связи u_L = L di/dt выражение для тока i, получим напряжение на индуктивном элементе в переходном режиме:

ЗАДАЧА 8

К электрическим цепям, изображенным на рис. 7 (см. предыдущую задачу), подключено постоянное напряжение U. Ключом К осуществляется коммутация в этих электрических цепях. Параметры цепи заданы в табл. 7 (см. предыдущую задачу).

Требуется определить токи в переходном процессе. Задачу решить операторным методом.

Дата добавления: 2014-01-07