КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Системы с переменным числом частиц. Большое каноническое распределениеЭнтропия системы по Больцману
Формула Клазиуса позволяет получить выражение для энтропии системы. Как было показано в § 1.5
d<E> = δQ
А если <E> = ∑ Pn En
С другой стороны, из канонического распределения следует, что
Pn = e- En/kT / z
lnPn + lnz = - En/kT
<E> = -∑ Pn (lnPn + lnz) kT = -kT∑ Pn lnPn - kT lnz
δQ = d<E>
Так как система находится в равновесии, то температура системы равна температуре окружающего мира. Статистическая сумма так же будет постоянна, так как x = const.
δQ = d<E> = -kTd(∑ Pn lnPn)
dS = δQ/T = -kd(∑ Pn lnPn)
S = -k∑ Pn lnPn + S0
S0 – некоторая произвольная величина, для нахождения которой рассмотрим предельный невероятный случай системы с одним доступным состоянием Г = 1
S = klnГ = 0
Вероятность этого доступного состояния будет
Pn = 1/Г = 1
∑ Pn lnPn = 1ln1 = 0 → S0 = 0
S = -k∑ Pn lnPn
Рассмотрим большую изолированную системы u, которая находится в равновесии. Пусть малая часть этой системы, подсистема S, обменивается с окружающим миром, системой W, энергией и частицами. Если предположить, что взаимодействие между частицами парное, то, как было показано в § 1.2, можно говорить об отдельном состоянии системы S. Так как число взаимодействующих частиц между системами S и W бесконечно мало, про эти частицы нельзя сказать, к какой системе они относятся. Определим вероятность того, что система S находится в одном из своих квантовых состояний “n” с энергией En и числом частиц N. Так как большая система находится в равновесии, то вероятность каждого из ее доступных состояний одинакова и будет 1/Гu, Гu - где статистический вес системы. Если среди этих доступных состояний Г u* - число состояний системы u, при которых система S находится в состоянии “n” с числом частиц N, то
Pn(En, N) = Г u*/ Гu
С другой стороны, число доступных состояний системы u Г u*, при котором система S находится в одном состоянии, будет совпадать с числом доступных состояний системы W.
Pn(En, N) = ГW (EWNW)/Гu
При этом, пренебрегая числом частиц и их энергией, находящихся в граничном слое, находим, что энергия системы W будет
EW = Eu - En
NW = Nu – N
Eu и Nu - энергия и число частиц системы u, En и N – энергия и число частиц системы S
Тогда
Pn(En, N) = ГW (Eu – Eт, Nu - N)/Гu
Разложим функцию ГW в степенной ряд. Для лучшей сходимости разложим эту функцию в ряд ее логарифма.
lnГW(Eu – En, Nu-N) = lnГW(Eu, Nu) - En(∂lnГW/∂E)(Eu, Nu) – N(∂lnГW/∂N)(Eu, Nu) = - lnГW(Eu, Nu) - βEn + μβN +…
β = ∂lnГ/∂E
μβ = - ∂lnГW/∂E
Тогда
ГW(Eu – En, Nu-N) = e- βEn + μβN ГW(Eu, Nu)
И вероятность будет равна
Pn(En, N) = [ГW(Eu – En)/ Гu] e- βEn + μβN = (1/zgr) e- βEn + μβN
β = 1/kT
Постоянный коэффициент легко находится из условия нормировки
∑ Pn(En, N) = 1
zgr = ∑ e(-En + μN)kT - большая статистическая сумма
Pn(En, N) = e(-En + μN)kT /zgr - большое каноническое распределение
Μ = (1/β)(∂lnГ/∂N)
Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 578; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |