Пересечения двух поверхностей

Общая схема решения задачи на построение линии

Классификация позиционных задач

Тема 13. Позиционные задачи

1. Классификация позиционных задач.

2. Общая схема решения задачи на построение линии пересечения двух поверхностей.

3. Способ вспомогательных секущих плоскостей.

4. Способ вспомогательных секущих сфер.

5. Особые случаи пересечения поверхностей второго порядка.

6. Сечение поверхности плоскостью.

7. Конические сечения.

8. Построение линии пересечения двух плоскостей.

9. Построение точек пересечения линии с поверхностью.

Литература: § 26, 55-67 [1]

В процессе проектирования и изготовления нового изделия инженерам часто приходится решать задачи, связанные с различными геометрическими объектами. Такие задачи делятся на метрические и позиционные. При решении метрических задач определяются различные геометрические величины: длины отрезков, углы, площади, объемы и т.п. Геометрические задачи, связанные лишь с относительным расположением фигур в пространстве, относятся к позиционным.

Под позиционными задачами мы будем понимать задачи на определение общих элементов различных геометрических фигур. К ним относятся задачи на взаимную принадлежность (взять точку на линии или на поверхности, провести линию на поверхности, провести поверхность через заданные линии и т.д.) и задачи на пересечение различных геометрических объектов (найти точку пересечения линии с поверхностью или линию пересечения двух поверхностей и т.д.). Некоторые позиционные задачи были рассмотрены нами ранее, например, как построить точку на прямой или на плоскости, как определить точку пересечения двух лежащих в одной плоскости прямых и пр.

В начертательной геометрии линию пересечения двух поверхностей находят с помощью приема, который называется способом вспо­могательных секущих поверхностей (способ поверхностей-посред­ников). Этот способ заключается в следующем. Предположим, даны две произвольные поверхности Σ и Ф. Нужно построить линию их пересечения, т.е. определить точки, принадлежащие линии пересечения (рис.13.1).

Рис.13.1

Чтобы найти такие точки, надо выполнить следующие действия.

1. Данные поверхности пересечь некоторой вспомогательной поверхностью Θ. Вид и расположение этой вспомогательной поверхности относительно данных поверхностей должны быть выбраны так, чтобы в пересечении получались простые по форме линии (прямая, окружность) и чтобы проекции этих линий легко строились на комплексном чертеже.

2. Построить линии пересечения вспомогательной поверхности Θ с каждой из данных поверхностей: n = ΣÇΘ, m = ФÇΘ.

3. Отметить точки пересечения полученных линий: М,N = nÇm.

Полученные точки одновременно принадлежат трём поверхностям: Σ,Ф и Θ, а потому они принадлежат искомой линии пересечения данных поверхностей.

Повторяя этот прием с различными вспомогательными поверхностями, можно найти такое количество точек кривой, которое позволяет достаточно точно провести через эти точки кривую линию по лекалу.

На практике в качестве вспомогательных секущих поверхностей чаще всего используют плоскости (частный вид поверхности) или сферы. В соответствии с этим из общего способа выделяются два, которые называются способом плоскостей и способом сфер.

Дата добавления: 2014-01-07