Построение точных разверток многогранников

Классификация разверток поверхностей

Общие положения

Представим поверхность в виде тонкой и гибкой, но нерастяжимой пленки. В этом случае некоторые поверхности можно постепенным изгибанием совместить с плоскостью так, что при этом не возникает ни разрывов, ни складок. Поверхности, обладающие этим свойством, называются развертывающимися, а фигура, полученная в результате совмещения поверхности с плоскостью – разверткой данной поверхности.

Построение разверток является важной технической задачей, так как в промышленности широко применяются разнообразные изделия, выполненные из листового материала путем изгибания (сосуды, трубопроводы, швейные изделия и др.).

Если рассматривать поверхность и ее развертку как точечные множества, то между этими двумя множествами устанавливается взаимно однозначное соответствие. Значит, каждой точке на поверхности соответствует единственная точка развертки, каждой линии на поверхности соответствует линия на развертке и наоборот. Указанное взаимно однозначное соответствие обладает следующими свойствами.

1. При развертывании поверхности на плоскость длины линий, лежащих на ней, сохраняются.

2. Углы, образованные линиями на развертке, и углы между соответствующими линиями на поверхности равны.

3. Замкнутая линия на поверхности и соответствующая ей линия на развертке ограничивают одинаковую площадь. Из этого следует, что площадь развертки равна площади самой поверхности.

4. Прямой на поверхности соответствует прямая на развертке.

5. Параллельным прямым на поверхности соответствуют параллельные прямые на развертке.

Линия между двумя точками развертываемой поверхности, соответствующая прямой на ее развертке, является кратчайшей линией между этими точками. Такие линии называются геодезическими.

В курсе дифференциальной геометрии доказывается, что развертываемыми поверхностями являются многогранники и следующие линейчатые поверхности: цилиндры, конусы и торсы. Все остальные поверхности неразвертываемые.

В начертательной геометрии развертки поверхностей делятся на:

Ø точные – развертки многогранников и прямых круговых цилиндров и конусов, если параметры разверток рассчитывались по формулам;

Ø приближенные – развертки развертывающихся линейчатых поверхностей;

Ø условные – развертки неразвертывающихся поверхностей.

Для построения разверток многогранников применяются следующие способы:

Ø нормального сечения – для призм;

Ø раскатки – для призм;

Ø триангуляции (треугольников) – для любого многогранника.

Рассмотрим первый и третий способы более подробно.

Дата добавления: 2014-01-07