Случайная величина

Формулы Байеса.

Формула полной вероятности.

Теоремы умножения вероятностей.

События бывают зависимыми и независимыми.

Событие В не зависит от события А, если Р(В) не изменяется от того, что произошло событие А.

Событие В зависит от события А, если Р(В) изменяется от того, что произошло событие А.

Р(В/А) – вероятность события В, при условии, что произошло событие А – это условнаявероятность события В.

Произведением двух событий А·В, называется событие, которое состоит в том, что произойдёт и событие А и событие В.

Произведением нескольких событий А·В·С·D·… называется событие, которое состоит в том, что произойдут все эти события.

Теорема 1. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей.

Теорема 2. Вероятность совместного появления двух зависимых событий (В зависит от А) равна произведению вероятности события А на условную вероятность события В.

Иногда событие А может произойти только совместно с одним из нескольких других событий, их принято называть гипотезами и обозначать Тогда полная вероятность события А вычисляется по формуле:

Пример: Н ₃

Н ₁ Н ₂ Событие А: попадёмв домик.

До проведения опыта мы имели вероятности гипотез

(В примере).

После проведенияопыта:

Пусть событие А произошло (т.е. попали в домик), вероятности гипотез изменились. Для того, чтобы вычислить вероятности гипотез, при условии, что произошло событие А используют формулы Байеса:

Пример

Случайная величина – это переменная, которая принимает свои значения в зависимости от случайных обстоятельств.

. Дискретная случайнаявеличина (точечная) принимает отдельные числовые значения (число студентов в аудитории, кубик: 1,2,3,4,5,6)

Непрерывная случайная величина принимает любые значения из некоторого интервала(масса тела, рост студентов).

Случайные величины обозначают заглавными последними буквами латинского алфавита: X,Y,Z…,а их возможные значения прописными буквами:

Любое правило, которое устанавливает связь между возможными значениями случайной величины и вероятностями, с которыми она эти значения принимает, называется законом распределения случайной величины.

Закон распределения случайной величины можно задавать в виде:

1).Таблицы

2). Графика

3) Функции распределения.

Дискретная случайная величина.

1).Таблица: Ряд распределения(может быть конечным или бесконечным)

X	x1	x2	…	…	…	xn
P(x)	P(x1)	P(x2)				P(xn)

Так как события X=x₁, X=x₂…. попарно несовместны и составляют полную группу событий, следовательно

2).График : многоугольник распределения.

x₁ x₂ x_n

  P(x₂) P(x₁) P(x_n)

3).Функция распределения F(x₀)– это вероятность того, что случайная величина X принимает значения меньшие или равные x_0.

x₁ x₂ x_n

  F(x_n)=1   F(x₂) F(x₁)

1). F(x) неубывающая: F(x₂)≥F(x₁) если x₂≥x₁ 2).F(-∞)=0; F(+∞)=1

Вероятность попадания значения случайной величины в заданный интервал:

Пример:

X
P(x)	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1
F(x)	0,1	0,3	0,7	0,9

F(4)=P(X≤4)=F(2)+F(4)=0,1+0,2=0,3 F(8)=P(X≤8)=F(2)+F(4)+F(6)+F(8)=0,1+0,2+0,4+0,2=0,9

P(4<X≤8)=F(8)-F(4)=0,9-0,3=0,6

Непрерывная случайная величина.

1).Таблица: Интервальный ряд распределения.

X	Δx1	Δx2				Δxk
P(Δx)	P(Δx1)	P(Δx2)				P(Δxk)

Где к – количество интервалов.

2).График: Гистограмма.

  Обозначим:.     3).Вероятность попадания случайной величины в интервал [a,b]:  

←-∞ a b +∞→

4). Условие нормировки: площадь под кривой равна единице.

Дата добавления: 2014-01-07