Монотонные последовательности. Определение 1.6. 1) Если xn+1 > xn для всех n, то последовательность возрастающая

Определение 1.6. 1) Если x_n+1 > x_n для всех n, то последовательность возрастающая.

2) Если x_n+1 ³ x_n для всех n, то последовательность неубывающая.

3) Если x_n+1 < x_n для всех n, то последовательность убывающая.

4) Если x_n+1 £ x_n для всех n, то последовательность невозрастающая.

Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

Пример 1.5. {x_n} = 1/n – убывающая и ограниченная

{x_n} = n – возрастающая и неограниченная.

Пример 1.6. Доказать, что последовательность {x_n}=монотонная возрастающая.

Найдем член последовательности {x_n+1}= . Найдем знак разности: {x_n}-{x_n+1}=

, т.к. nÎN, то знаменатель положительный при любом n.

Таким образом, x_n+1 > x_n. Последовательность возрастающая, что и следовало доказать.

Пример 1.7. Выяснить является возрастающей или убывающей последовательность {x_n} = .

Найдем . Найдем разность

, т.к. nÎN, то 1 – 4n <0, т.е. х_n+1 < x_n. Последовательность монотонно убывает.

Следует отметить, что монотонные последовательности ограничены по крайней мере с одной стороны.

Теорема 4. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Доказательство. Рассмотрим монотонную неубывающую последовательность х₁ £ х₂ £ х₃ £ … £ х_n £ x_n+1 £ … Эта последовательность ограничена сверху: x_n £ M, где М – некоторое число. Т.к. любое, ограниченное сверху, числовое множество имеет четкую верхнюю грань, то для любого e>0 существует такое число N, что x_N > a - e, где а – некоторая верхняя грань множества. Т.к. {x_n}- неубывающая последовательность, то при N > n а - e < x_N £ x_n,

x_n > a - e.

Отсюда a - e < x_n < a + e.

-e < x_n – a < e или ôx_n - aô< e, т.е. lim x_n = a.

Для остальных монотонных последовательностей доказательство аналогично. Теорема доказана.

Дата добавления: 2014-01-07