Метод множителей Лагранжа

Пусть задана задача математического программирования:

Определение. Функцию переменных x, l ₁, ×××, l_m называют функцией Лагранжа исходной задачи:

Коэффициенты линейной комбинации называются множителями Лагранжа.

Определение. Седловой точкой функции Лагранжа задачи математического программирования, называется такая точка -мерного пространства переменных x ₁, x ₂,×××, x_n; l ₁, ×××, l_m, x ³0, l ³0, в которой для функции Лагранжа выполнены условия: для всех x ³0, l ³0.

Другими словами, в седловой точке достигается максимальное значение функции Лагранжа по переменным группы x и минимальное значение по переменным группы l.

Необходимое условие экстремума функции Лагранжа, которая является функцией многих переменных, это равенство нулю частных производных, соответственно по x ₁, x ₂, ×××, x_n; l ₁, ×××, l_m:

, если

если

В случае, когда выполняется условие: а в случае, когда выполняется условие:

Задача № 1.5.1.

Есть возможность инвестировать денежные средства в развитие малого бизнеса: переоснащение супермаркета и открытие магазина в районе. Общая сумма инвестиций, составляет 150 условных единиц. Функция полезности (предпочтения), разработанная аналитиками-экономистами имеет вид: f (x ₁, x ₂)= x ₁ ln (x ₂). Требуется определить, как эффективно вложить денежные средства.

.

Решение. Функция Лагранжа имеет вид:

Найдем частные производные функции Лангранжа:

из первых двух уравнений следует, что

Ответ:

Дата добавления: 2014-01-07