Дискретный марковский случайный процесс

Определение 1. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять одно из числовых значений известного множество, однако заранее неизвестно какое именно.

Определение 2. Случайным процессом или случайной функцией S(t), называется функцией, которая каждому моменту t из временного промежутка проводимого опыта ставит в соответствие единственную случайную величину S(t).

Определение 3. Если система S с течением времени t изменяет свои состояния S(t) случайным образом, то говорят, что в системе протекает случайный процесс.

Если множество состояний системы S не более чем счетно, т.е. конечно или счетно то случайный процесс является дискретным. Если множество системы S более чем счетно, то процесс непрерывный.

В случае дискретного процесса система может менять свои состояния мгновенно, в случае непрерывного процесса переход системы из одного состояния в другой осуществляется постепенно, плавно.

В дальнейшем будем рассматривать только системы с дискретным множеством состояний.

Определение 4. Случайный процесс, протекающий в системе S, называется марковским, если он обладает свойством отсутствия последействия или отсутствие памяти, состоящим в том, что до настоящего фиксированного момента времени t ₀ вероятность любого состояния S(t) системы S в будущем (при t > t ₀) зависит только от ее состояния S(t ₀) в настоящем (при t = t ₀) и не зависит от того, как развивался этот процесс в прошлом (при t < t ₀).

Для анализа дискретного случайного процесса, протекающего в системе, удобно пользоваться графом ее состояний, под которым будем понимать (плоское) множество прямоугольников, внутри которых помещаются обозначения состояний и множество стрелок, обозначающие возможные непосредственные переходы из состояний в состояния. На рис.24 приведен пример графа системы S с восемью состояниями с непосредственными переходами:

Рис. 24 Графы состояний системы

Определение 5. Группа состояний системы называется множеством без выхода, если система однажды попав в него, может из любого его состояния перейти за конечное число шагов в любое другое состояние, но никогда не может выйти из этого множества.

Если множество без выхода состоит из единственного состояния, то последнее называется состоянием без выхода, которое также может называться поглащающим или ловушкой.

Состояния на рис. 24 образуют множество без выхода, а состояние s ₄ является состоянием без выхода, т.е. ловушкой.

Определение 6. Группа состояний системы называется множеством без входа, если система, находясь в этом множестве, может из любого состояния перейти за конечное число шагов в любое другое и его состояние, но выйдя однажды из этого множества, система никогда в него не возвратится.

В частности, если множество без входа, состоит из единственного состояния, то оно называется состоянием без входа (неустойчивым или неустановившимся).

Состояния s ₁ и s ₂ образуют множество без входа, а состояние s ₅ является состоянием без входа.

Определение 7. Система называется эргодической (работающей), если она из любого своего состояния может перейти за конечное число шагов в любое другое состояние.

Определение 8. Дискретную величину S (t ¢) называют сечением случайного процесса, протекающего в системе S, в момент времени t ¢.

Задача № 5.1.

Рассмотрим процесс работы кассы в магазине. Построить реализацию процесса работы кассы в промежуток времени и отобразить графически.

Решение. В некоторые промежутки времени, касса будет свободной, так как отсутствуют покупатели или покупатели рассматривают товар, а в другие – будет занятой обслуживанием покупателей. Процесс работы кассы будем интерпретировать в качестве системы S. Тогда система может пребывать в одном из двух состояний: s ₀– касса свободна, s ₁–касса занята. Поскольку приход покупателей и время их обслуживания носят случайный характер, то процесс, протекающий в системе S, является случайным.

Граф состояний системы S:

Рассмотрим промежуток работы кассы с 10.00 до 12.00 часов. Реализация соответствующего наблюдения представлена дискретной функцией S, определенной на промежутке [11.00; 12.00] и принимающей всего два значения 0 и 1,

при 11.00£ t <11.20,

при 11.20£ t <11.40,

при 11.40£ t £12.00.

Система S из любого своего состояния может перейти в другое, следовательно, она является эргодической. График системы S представлен на рис. 25

Рис. 25. Реализация случайного процесса S

Дата добавления: 2014-01-07