Операции над множествами

Операция Â(А₁, А₂,..., А_k)= В сопоставляет нескольким множествам A₁, A₂,..., A_k множество B - результат операции. Число k называется арностью операции Â.

Одну операцию мы уже ввели – операцию дополнения. Её арность равна 1 (унарная операция).

Пусть даны два множества A и B и множество C является результатом операции над ними (бинарная операция). Перечислим элементарные бинарные операции:

- пересечение множеств С = А Ç В, если С ={ с ½ c Î А & с Î В }. Эту операцию называют еще умножением множеств или операцией И;

- о бъединение множеств С = А È В, если С ={ с | с Î А | с Î В }. Другое название операции - сложение множеств или операция ИЛИ;

- разность множеств C = A\B, если С={с | с Î А & с Ï В }. Иначе операцию называют А без В;

- симметрическая разность C = A D В, если С= { с | сÎА\В È сÎВ\А }.

Результат любой описанной операции снова является множеством той же предметной области, его можно использовать в качестве аргумента операций над множествами. Таким образом, можно строить сложные формулы, описывающие множество через другие множества. Например,
(А Ç ` В) È (` А Ç В Ç С).

Две формулы эквивалентны, если им соответствуют равные множества. Обозначим это как F1 = F2.

Операции на множествах можно графически представить в виде кругов Эйлера, когда множествам сопоставляются замкнутые фигуры на плоскости, взаимное расположение которых определяет результат операции (рис. 1.1). Так, пересечение двух фигур, сопоставленных

множествам A и B, образует новую замкнутую фигуру, соответствующую общей части фигур А и В – результату операции пересечения, и т.п.

Разбиением или покрытием множества А называют множество его подмножеств { A₁, A₂,..., A_k } такое, что имеет место (A₁ È A₂ È ... È A_k)= A, и для любой пары подмножеств А_i Ç A_j =Æ, если i ¹ j. При этом говорят, что множество А разбито на подмножества A₁, A₂,...,A_k или покрыто подмножествами A₁, A₂,..., A_k, а подмножества А₁, А₂,... называются классами разбиения или классами покрытия. Выбор того или другого термина определяется смыслом предметной задачи.

Дата добавления: 2014-01-07