Еквівалентні нескінченно малі величини

Означення. Нескінченно малі величини (н.м.в.)
називаються н.м.в. одного порядку мализни при якщо

Приклад. Н.м.в. та є н.м.в. одного порядку мализни при , бо

Означення. Н.м.в. називається н.м.в. вищого порядку мализни порівняно з н.м.в. при якщо

Приклад. Н.м.в. є вищого порядку мализни порівняно з н.м.в. при :

Означення. Дві н.м.в. називаються еквівалентними при якщо

Зауваження: При дослідженні границь відношення н.м.в. їх можна замінювати еквівалентними, тобто якщо еквівалентна при то

Виходячи з наслідків першої та другої особливих границь, можна записати таку низку еквівалентних н.м.в. при

x ~ sin x ~ tg x ~ arcsin x ~ arctg x ~ e^x – 1 ~ln (x + 1).

Як наслідок звідси випливає, наприклад, що при буде: e ^{3 x} – 1 ~ 3 x; sin 5 x ~ 5 x і т.п.

Використовується шкала н.м.в. при дослідженні невизначеностей типу .

Приклад.

Наслідок. Якщо функція неперервна на і то на набуває всіх проміжних значень між числами А і В.

Теорема 4 (Вейєрштрасса). Якщо функція неперервна на закритому проміжку , то вона набуває на цьому проміжку своїх найбільших й найменших значень
(рис. 3.17).

Рис. 3.17

Дата добавления: 2014-01-07