Законы де Моргана

Возьмем правую часть равенства. Согласно закону ассоциативности

раскроем скобки и получим:

(АÈС)Ç(ВÈС)=АÇВÈСÇВÈАÇСÈСÇС=АÇВÈС (упростили используя

закон поглощения). Из записи закона ассоциативности и закона

дистрибутивности видно, что один закон можно получить из другого,

заменив знаки “È” и “Ç”, следовательно, законы двойственны.

4. Закон поглощения

Если А содержится в В, то АÈB=В.

Согласно аксиоме объединения в результирующее множество входят элементы, принадлежащие хотябы одному А или В, а так как все А входят в В то справедливо:

АÈB=В

АÈАÇМ=А

Исходя из определения операции пересечения ясно, что АÇМ содержится в А.В итоге получаем А.

Следствие:

Если М=1, то АÈА=А

5. Свойство степени.

Если множество пересекается с самим собой, то из определения пересечения следует

АÇА=А

Эти законы позволяют выразить законы объединения и пересечения друг через друга с использованием операции дополнения:

а) АÈВ=Ç

Доказательство:

Обозначим через М: М=АÈВ и =Ç. Если теперь объединение М и даст единичное множество, то закон будет доказан.

М È = А È В È Ç= АÈ(В È)Ç(В È). Используя определение дополнения получим:

М È = АÈВÈ=1ÈВ=1=I

б) АÇВ=È

Доказательство:

Обозначим через М: М=АÇВ и =È. Если теперь объединение М и даст единичное множество, то закон будет доказан.

М È = А Ç В È Ç=(È А) Ç (В È)È= ВÈÈ=1È =1=I

Законы де Моргана так же являются двойственными.

АÇВ=АВ.

ВЫВОДЫ ПО РАЗДЕЛУ.

1. АÌА

2. Если АÌВ и ВÌА, то А=В

3. Если АÌВ и ВÌС, то АÌС

4. Æ Ì A

5. А Ì I

6. А È В =В È А

7. А Ç В =В Ç А

8. АÈ(ВÈС)=(АÈВ)ÈС

9. АÇ(ВÇС)=(АÇВ)ÇС

10. А È А = А

11. А Ç(ВÈС)=(АÇВ)È(АÇС)

12. А È (ВÇС)=(АÈВ) Ç (АÈС)

13. А È Æ = А

14. А È I= I

15. А Ç I = A

16. А Ç A = A

17. А Ç Æ = Æ

18. Если АÌВ, то АÈВ=В, АÇВ=А

19. А È = I

20. A Ç = Æ

21. =I

22. =Æ

23. = A

24. Если АÌВ, то Ì

25. () = Ç

26. () = È

Дата добавления: 2014-01-07