Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Гамма-функция. Интеграл и производная дробного порядка

 

Неэлементарная гамма-функция определяется следующим несобственным интегралом, зависящим от параметра

(1)

Убедимся, что интеграл (1) сходится для всех и действительно определяет функцию. Разобьем несобственный интеграл (1) на два несобственных интеграла (2)

При подынтегральная функция первого интеграла удовлетворяет следующему неравенству Т.к. интеграл сходится при (и расходится при то по признаку сравнения первый несобственный интеграл в (2) сходится при При подынтегральную функцию второго несобственного интеграла (2) сравним с функцией интеграл от которой сходится.

Используя правило Лопиталя, найдем предел при любом А это означает, что По признаку сравнения второй несобственный интеграл в (2) сходится.

Итак, мы доказали, что интеграл (1) сходится и определяет гамма-функцию для всех больших нуля. Можно доказать, что непрерывная и дифференцируемая сколько угодно раз при При интеграл (1) расходится. Интегрируя (1) по частям, получим

(3)

Если то используя формулу (3) раз, получим

Из (1) видно, что поэтому

Перепишем (3) в виде

(4)

Из (4) видно, что при

Формулу (4) используют, чтобы продолжить гамма-функцию на отрицательные значения Действительно, если то и правая часть (4) определена. Очевидно,при при Зная значения при можно по формуле (4) вычислить значения функции при и т.д. (график гамма-функции см. на рис.).

Интеграл (1), определяющий гамма-функцию для положительных значений a, можно аналитически продолжить на комплексную полуплоскость Re a > 0. Для аналитического продолжения гамма – функции в левую полуплоскость используется формула (4). В результате получим аналитическую функцию Г (a) во всей комплексной плоскости, исключая точки a = 0, -1, -2, ¼, в которых она имеет простые полюса.

Замечание. Если в формуле * (см. §6 гл.8, ч.I) факториал заменить на гамма-функцию (Г (n) = (n – 1)!), то можно определить интеграл от функции f (x) любой кратности a > 0 (в том числе и дробной) формулой

(5)

А поскольку интегрирование и дифференцирование – это две взаимно обратные операции, то можно определить и производную дробного порядка.

Чтобы найти производную от функции f (x) порядка a > 0, следует взять от нее интеграл порядка 1 – { a } ({ a } – дробная часть a) и от полученного интеграла взять обычную производную порядка 1 + [ a ] = n ([ a ] – целая часть a), т.е.

(6)

Определение дробной производной (6) можно записать иначе:

(7)

Достаточным условием существования производной порядка a является существование непрерывной производной порядка [ a ] функции f (x).

Пример. Найти производные порядка a = 1¤4 и a = 5¤4 от функции f (x) = x.

Решение. В нашем случае при a = 1¤4 и при a = 5¤4. Воспользуемся формулой (7) и вычислим интеграл

Согласно формуле (7)

а

Упражнение. Найти и

Понятие интеграла и производной порядка a можно распространить и на комплексные значения a, такие, что Re a > 0

 

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Доказательство. Т.к. а интеграл сходится, то согласно признаку Вейерштрасса (см | Дельта-функция
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 1457; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.012 сек.