Т-ма об особых точках

Т-ма о порядке нуля.

Нули и изолированные особые точки аналитической функции.

Определение 1: Пусть f(z) аналитична в точке z=a. Если f(a)=0, f `(a)=0,...,f^(k-1)(a)=0, но f^(k)(a)¹0, т.е. ряд Тейлора функции f(z) начинается с k-го члена (С_k=f^(k)(a)/k!¹0), то точка z=a наз-ся нулем k-го порядка функции f(z).

Пример: f(z)=1-cosz. z=0 - один из нулей функции. Рассмотрим ряд Тейлора по степеням z-0=z: f(z)=1-cosz=

=1-(1-z²/2!+z⁴/4!-...)= z²/2!-z⁴/4!+... Þ z=0 - нуль 2-го порядка

[z=a - нуль k-го порядка для f(z)ÎH{a}] Þ [f(z) можно представить в виде f(z)=(z-a)^kj(z), где j(z)ÎH{a} и j(a)¹0 ]

Þ [определение 1] Þ [f(z)=C_k(z-a)^k+C_k+1(z-a)^k+1+..., где С_k¹0 ] Þ [f(z)=(z-a)^k(C_k+C_k+1(z-a)+C_k+2(z-a)²+...), где

j(z)= C_k+ +C_k+1(z-a)+... как сумма степенного ряда аналитична в окрестности точки z=a, причем j(а)=С_k¹0 ]

Ü [f(z)=(z-a)^kj(z), где j(z)ÎH{a}, j(a)¹0 ] Þ |по критерию разложимости в степенной ряд| Þ [ j(z) разлагается в ряд Тейлора в окрестности z=a: j(z)=b₀+b₁(z-a)+..., причем b₀=j(a)¹0 ] Þ [f(z)=b₀(z-a)^k+b₁(z-a)^k+1+..., где b₀¹0 ]Þ

Þ|по определению1|Þ [z=a - нуль k-го порядка] g

Пример: f(z)=(z²+1)³shz. z=i - есть нуль. f(z)=[(z-i)(z+i)]³shz=(z-i)³(z+i)³shz, где j(z)=(z+i)³shzÎH{i}.

j(i)=8i³shi=-8i(eⁱ-e^-i)/2¹0 Þ z=i - нуль 3-го порядка.

Определение 2: Пусть f(z)ÏН{а}, т.е. z=a - особая точка. Если f(z) аналитична в некоторой проколотой окрестности точки z=a, т.е. в этой окрестности нет других особых точек, то z=a наз-ся изолированной особой точкой функции f(z).

Пример: Для f(z) =1/sin(1/z) точка z=0 - особая. Но точки z_n=1/(np) - тоже особые, причем z_n®0 при n®¥. Значит, в любой окрестности особой точки z=0 всегда имеются другие особые точки z_n=1/(np), поэтому z=0 не изолированная особая точка.

Определение 3: Изолированная особая точка z=a наз-ся

1.устранимой (или правильной), если сущ-ет конечный предел lim f(z) (при z®а)

2.полюсом, если сущ-ет lim f(z)=¥ (при z®a)

3.существенно особой точкой, если при z®a никакого предела не сущ-ет.

1.[z=a - устранимая особая точка для f(z) ] Û [главная часть ряда Лорана функции f(z) в окрестности точки z=a отсутствует ]

2.[z=a - полюс] Û [главная часть ряда Лорана содержит конечное число членов]

3.[z=a - существенно особая точка] Û [главная часть ряда Лорана содержит бесконечное мн-во членов]

1) Þ [определение 3] Þ [$ lim f(z)¹¥ (при z®a)] Þ [f(z) ограничена в некоторой проколотой окрестности О(а): |f(z)|£M ].

Для коэфициентов главной части ряда Лорана

С_-k=1/(2pi)ò(по замкнутой g) (f(z)dz)/(z-a)^-k+1 (kÎN) можно взять окружность g={z:|z-a|=r}ÌO(a) произвольно малого радиуса r (т.к. внутренний радиус кольца О(а) равен нулю). В точках zÎg: |f(z)/(z-a)^-k+1| £ M/|z-a|^-k+1=M/r^-k+1=Mr^k-1, и по св-ву модуля интеграл |С_-k|=|1/(2pi)ò(по g)|=1/2p|ò(по g)|£1/(2p)×Mr^k-1×длина g=1/(2p)×Mr^k-1×2pr=Mr^k Þ 0£|C_-k|£Mr^k. Но lim Mr^k=0 (при r®0) Þ lim|C_-k|=0 (при r®0), а т.к. C_-k=const, то |C_-k|=0 Þ C_-k=0, т.е. главная часть ряда Лорана отсутствует.

Ü [главная часть отсутствует: ("zÎO(a))[f(z)=C₀+C₁(z-a)+...], т.е. при z¹a f(z) совпадает с суммой S(z) степенного ряда] Þ [S(z) аналитична как сумма степенного ряда в сплошном круге О(а), и потому S(z)ÎC{a} Þ $ lim S(z)=S(a)=C₀ (при z®a)] Þ [при z¹a: S(z)=f(z), поэтому $ lim f(z)=C₀¹¥ (при z®a) ] Þ |по определению 3|Þ [z=a - устранимая особая точка]

Замечание: Если положим f(a)=C₀=lim f(z) (при z®a), то будет f(a)=S(a), т.е. f(z) совпадает с аналитической функцией S(z) в сплошном круге О(а), так что f(z)ÎH(a), т.е. особенность z=a устраняется.

2.Þ [z=a -полюс] Þ|определение3| Þ[lim f(z)=¥] Þ ("e>0)($O(a))("zÎO(a))[|f(z)|>e] Þ ("zÎO(a))[f(z)¹0] Þ Þ[1/f(z)=j(z)ÎH(O(a)) как частное аналитической функции]. Кроме того lim j(z)=(1/¥)=0¹¥, т.е. z=a для j(z) устранимая особая точка, а если примем j(a)=lim j(z)=0, то будет j(z)ÎH(O(a)), и разлагается в круге О(а) в степенной ряд: [j(z)=b₀+b₁(z-a)+b₂(z-a)²+..., причем хотя бы один b_k¹0, иначе бы j(z)º0 (a j(z)=1/f(z)¹0)] Þ [j(z)=b_k(z-a)^k+ +b_k+1(z-a)^k+1+...=(z-a)^k(b_k+b_k+1(z-a)+...), где g(z)=b_k+b_k+1(z-a)+... как сумма степенного ряда аналитична в О(а), причем g(a)=b_k¹0]. В силу |g(z)|ÎC{a} будет |g(z)|¹0 (т.е. g(z)¹0) и в некоторой окрестности О₁(а) (по т-ме о сохранении длины непрерывной функции). Поэтому f(z)=1/j(z)=1/(z-a)^k×1/g(z), (1)

где 1/g(z)Î ÎH(O₁(a)) и потому разлагается в степенной ряд: 1/g(z)=d₀+d₁(z-a)+..., причем d₀=1/g(a)¹0, так что f(z)=

=1/(z-a)^k×(d₀+d₁(z-a)+...)=d₀/(z-a)^k +d₁/(z-a)^k-1+...+d_k+d_k+1(z-a)+..., т.е главная часть содержит конечное число членов.

Ü [главная часть содержит конечное число членов: ("zÎO(a))[f(z)=C_-k/(z-a)^k+...+C_-1/(z-a)+C₀+...], где C_-k¹0] Þ [f(z)=

=1/(z-a)^k×(C_-k+C_-(k-1)(z-a)+...)= =j(z)/(z-a)^k ("zÎO(a)) (2) ]Þ lim f(z)=lim j(z)/(z-a)^k= |j(z)ÎC{a}Þlim j(z)=j(a)=

=C_-k|=(C_-k/0)=|C_-k¹0|= ¥.

3) Следует из того,что другие возможности исчерпаны g

Определение 4: При выполнении f(z)=j(z)/(z-a)^k, где j(z)ÎH{a}, j(a)¹0, точка z=a наз-ся полюсом k-го порядка, при k=1 - простым полюсом. (главная часть ряда Лорана по степеням z-a в окрестности точки z=a заканчивается k-ым членом

С_-k/(z-a)^k¹0)

Дата добавления: 2014-01-07