ЛЕКЦІЯ 9.Поняття відносини

Для позначення якого-небудь зв'язку між об'єктами або поняттями в математику часто користуються поняттям відносини. Наприклад, властивість елемента належати або не належати безлічі є відношенням «x Î X», причому, якщо елемент належить безлічі, то відношення є щирим, а якщо не належить, те помилковим. Включення безлічі в іншу безліч «X Í Y» також є відношенням. На безлічі людей задане відношення споріднення, наприклад, «x – батько y». Якщо взяти конкретних людей і підставити їхні імена замість x і y, то ми одержимо щире або помилкове висловлення, наприклад: «Лаий – батько Эдипа» — щире висловлення, «Поліб — батько Эдипа»[3] — помилкове. У цьому змісті відношення також є предикатом, що звертається в щире або помилкове висловлення при підстановці в нього конкретних елементів з області визначення.

Визначення 1. Декартовым добутком безлічей X і Y називається безліч всіх упорядкованих пар < x, y >, таких, що x Î X і y Î Y. Це позначається як:

X ´ Y = {< x, y >| x Î X, y Î Y }.

Приклад. Нехай дані безлічі X = {1, 2} і Y = {2, 3, 4}. Декартово произвение цих двох безлічей: X ´ Y = {<1, 2>, <1, 3>, <1, 4>, <2, 2>, <2, 3>, <2, 4>}. Розглянемо підмножину цього декартового добутку A = {<1, 2>, <1, 3>, <1, 4>, <2, 3>, <2, 4>}. Це не що інше, як відношення r: x < y — «x менше y». На тім же безлічі упорядкованих пар можна виділити ще одне відношення r ₁: y = x + 1 — це підмножина {<1, 2>, <2, 3>}. Інше відношення r ₂: x = y — це підмножина {<2, 2>}.

Визначення 2. Безліч упорядкованих пар утворить бінарне відношення. Позначається: < x, у > Î r або xrу. Таким чином, бінарне відношення — це деяка підмножина декартового добутку двох безлічей. Якщо r — деяке відношення, то вираження < x, у > Î r і xrв еквівалентні і читаються як «x знаходиться у відношенні r до у».

Природним узагальненням поняття бінарного відношення є поняття n-арного (n-місцевого) відносини, обумовленого як підмножина декартова добутку n безлічей:

X ₁ ´ X ₂ ´... ´ X_n = {< xⁱ ₁, xⁱ ₂,..., xⁱ_n > | xⁱ ₁ Î X ₁, xⁱ ₂ Î X ₂,..., xⁱ_n Î X_n }.

n- арное відношення являє собою безліч упорядкованих n-ок (читається: «энка»). Упорядковану n-ку називають інакше кортежем. Підмножина кортежів з n елементів утворить n-арное відношення. При n = 2 має місце бінарне відношення, при n = 3 використовується термін тернарное відношення.

Приклади.

Для деяких відносин прийняті спеціальні позначення.

Рівність: x = y; Тотожність: x º y. Нерівності: x ³ y, x £ y; x < y; x > y. Приналежність: x Î Y; x Ï Y. Включення: X Í Y; X Ì Y. Конгруентність: x @ y.

· Безліч {<2, 4>, <7, 3>, <3, 3>, <2, 1>}, будучи безліччю упорядкованих пар, є бінарне відношення. Не маючи ніякого конкретного значення, це відношення, природно, не має і спеціальної назви.

· Якщо m позначає відношення материнства, то <Джейн, Джон> Î m означає, що Джейн є матір'ю Джона.

· «x і y – батьки z» — тернарное відношення.

Визначення 3. Областю визначення відносини r (позначення: Dr) називають безліч перших координат елементів з r, областю значень відносини r (позначення: Rr) — безліч других координат елементів з r.

Наприклад, як областю визначення, так і областю значень відносини включення для підмножин безлічі U є безліч Ã(U); областю визначення для відношення материнства служить безліч усіх матерів, у той час, як область значень цього відношення — безліч усіх людей.

Дата добавления: 2014-01-07