Методи розрахунку та побудови фазових портретів

До основних методів розрахунку та побудови фазових портретів відносять: аналітичні; графічний наближений (метод ізоклін) та методи побудови за допомогою компьютерного моделювання.

Аналітичний метод.

Даний метод базується на розвязуванні диференціальних рівнянь руху системи.

Для початку необхідно отримати дифереціальні рівняння фазових траекторій, для чого нелінійне диференціальне рівняння системи другого порядку необхідно привести до нормальної форми Коші. Для цього спочатку диференціальне рівняння динаміки системи розв’язується відносно старшої похідної. Результат такого розв’язку можна записати у вигляді:

- загальний вигляд нелінійного диференціального рівняння, розв’язаного відносно старшої похідної,

де - регульована величина; - нелінійна функція.

Наприклад, маємо нелінійне рівняння другого порядку

Розв’язавши його відносно старшої похідної отримаємо

.

Для переходу до нормальної форми Коші здійснюємо підстановку

і отримаємо диференціальне рівняння системи у формі Коші:

Для отримання диференціального рівняння фазових траекторій, необхідно з диференціальних рівнянь у формі Коші виключити час. Цього можна досягти, поділивши перше диференціальне рівняння на друге. Отримаємо:

- диференціальне рівняння фазових траекторій.

Для побудови фазового портрету розв’язуємо диференціальне рівняння траекторій (розділяємо змінні та інтегруємо). Після чого проводимо побудову.

Якщо змінні у диференціальному рівнянні траекторій розділити не вдається, то використовують наближений метод побудови.

Дата добавления: 2014-01-07