Якість імпульсних систем

Якість імпульсних систем керування характеризується такими самими показниками, як і якість безперервних систем: точністю регулювання в усталених режимах, тривалістю і перерегулюванням перехідного процесу.

Усталену помилку можна визначити таким самим способом, як і в безперервних системах, тобто знайти зображення помилки з виразу передаточної функції (3.43) замкнутої системи за помилкою:

X(z) = W_x(z)G(z),

і перейти до її усталеного значення згідно з формулою (3.22) для кінцевого значення решітчастої функції:

(3.57)

Цю формулу не можна застосовувати, коли межа у правій частині не існує, наприклад, коли усталена помилка є гармонічною функцією.

Як і безперервні системи, імпульсні системи можуть бути статичними чи астатичними. Імпульсна система, у якої усталена помилка при будь-якому зовнішньому сигналі дорівнює нулю, називається астатичною по відношенню до цього сигналу. У протилежному випадку система називається статичною.

Точність імпульсної системи в усталеному режимі можна оцінювати за коефіцієнтами помилок С_k, які визначаються за формулою:

(3.58)

де

Показники якості перехідних процесів можна визначити шляхом розв’язку різницевого рівняння, що описує динаміку системи. Для розрахунку перехідної функції (реакції системи на одиничну ступінчасту дію за нульових початкових умов) зручно застосовувати z-перетворення. У цьому разі зображення вхідної величини (табл. 3.1) має вигляд:

G(z) = z/(z-1),

а зображення вихідної – вигляд:

Y(z) = G(z)W_з(z) = W_з(z)×z/(z-1). (3.59)

Оригіналом цієї функції є решітчаста функція y[n]. Якість перехідного процесу визначається за графіком безперервної функції y(t), що відповідає цій решітчастій функції.

Приклад 3.10 Побудувати перехідний процес в імпульсній системі автоматичного регулювання, для якої:

при дії керуючого сигналу g(t) = 1(t) і визначити основні показники якості.

Згідно з (3.42) визначимо передаточну функцію замкнутої імпульсної системи:

W_з(z) = W(z)/[1+W(z)] =

Тоді відповідно з (3.59) запишемо:

Перехідний процес у системі у тактові моменти часу і основні показники якості можна визначити різними способами. Згідно з одним із них розкладемо отриманий вираз по степенях zⁱ, виконавши ділення чисельника на знаменник. У результаті отримаємо:

Тоді відповідно до (3.34), (3.35) запишемо:

За допомогою цього виразу побудуємо перехідний процес в імпульсній системі (рис. 3.13). З графіка видно, що час регулювання складає 4Т=0,4 с (після цього моменту відхилення перехідної функції від усталеного значення, що дорівнює одиниці, не перевищує ±5%). Максимальне перерегулювання s=20,7 % (у момент часу 3Т = 0,3 с).

Якість перехідного процесу можна оцінювати також за полюсами і нулями передаточної функції. Якщо нулі відсутні, то полюси (корені характеристичного рівняння) повністю визначають перехідний процес у системі. Для стійкої системи модулі всіх коренів мають бути меншими за одиницю. Коло одиничного радіуса на площині z є відображенням уявної осі на площині p (рис. 3.10). Найбільш істотно на перехідний процес впливають корені, що розміщені найближче до уявної осі площини p, а значить, до кола одиничного радіуса площини z. Такі корені називаються домінуючими.

Якщо система має пару домінуючих комплексно-спряжених коренів , а решта коренів знаходиться поблизу початку координат, то час досягнення першого максимуму і перерегулювання визначаються за формулами:

(3.60)

(3.61)

де q=arctg(bT₀); M–кількість нулів передаточної функції; N– кількість полюсів; b – додатне число (b<1), при якому вираз у квадратних дужках у формулі (3.60) дорівнює цілому числу; k=cos(bq) + [cosec(q/|z₁|) – ctgq]sin(bq), - модуль домінуючого кореня.

Якість імпульсних систем можна характеризувати також оцінками, подібними до оцінок якості безперервних систем: ступінню стійкості h, коливальністю m, а також інтегральними оцінками якості.

Найпростішою з інтегральних оцінок є лінійна інтегральна оцінка:

(3.62)

де y[¥] – усталене значення вихідної величини.

Ця оцінка придатна тільки для неколивальних процесів. Ширше застосування знайшла квадратична оцінка:

(3.63)

Найкращою є та імпульсна система, для якої інтегральні оцінки мінімальні. Значення параметрів системи, що відповідають мінімальним оцінкам, називаються оптимальними за якістю перехідного процесу.

Дата добавления: 2014-01-07