Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Применение метода Гаусса для решения различных задач линейной алгебры

1. Обращение матриц. Пусть имеем m систем линейных уравнений с одинаковыми матрицами и разными правыми частями:

Ах = b (1); Ах = b (2); …; Ах = b ( m ). (2.8)

Применяя метод Гаусса к каждой системе независимо можно найти соответствующие решения: х (1), х (2), …, х ( m ) – это столбцы решений. Число арифметических операций можно, однако, существенно сократить, если решать все системы одновременно. Основные вычислительные затраты метода Гаусса связаны с преобразованием матрицы системы к треугольному виду. Параллельно с этим происходит и преобразование правых частей. Значит, все столбцы b (1), b (2), …, b ( m ) можно преобразовывать одновременно в процессе прямого хода. Аналогично, при обратном ходе можно одновременно вычислять компоненты решений х (1), х (2), …, х ( m ).

Пусть необходимо вычислить обратную матрицу к квадратной матрице А. Обозначим Х = А –1. Как известно АХ = I, где I – единичная матрица, в которой по диагонали расположены 1, а остальные элементы – 0. Иными словами, i-й столбец матрицы I равен

(1 на i-м месте). Пусть х ( i )i -й столбец матрицы Х. Тогда, в силу правила умножения матриц имеем Ах ( i ) = e ( i ). Значит, если в формуле (2.8) положить b ( i ) = e ( i ), то, решив такую систему, получим, что найденные решения х (1), х (2), …, х ( n ) являются столбцами матрицы А –1.

2. Вычисление определителей. В процессе преобразования матрицы А к треугольному виду методом Гаусса мы выполняли с ней следующие действия:

1) переставляли строки или столбцы в зависимости от модификации метода;

2) делили ведущую строку на ненулевой ведущий элемент;

3) к строкам матрицы прибавляли ведущую строку, умноженную на некоторое число.

Как известно, при таких преобразованиях определитель матрицы претерпевает соответствующие изменения:

1) изменяет знак;

2) делится на тот же элемент;

3) не меняется.

После прямого хода матрица А будет приведена к верхнему треугольному виду с единицами на главной диагонали. Определитель такой матрицы равен, очевидно, 1. С учетом тех изменений, которые претерпевал определитель матрицы А в процессе преобразований, имеем следующую формулу:

det A = (–1) s × a 11 × a 22 ×…× a n n,

где aj j – ведущие элементы, s – число перестановок строк и/или столбцов при поиске ведущих элементов.

 

 

Тема 3. Аппроксимация функций

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
 | 
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 418; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.008 сек.