Метод гармонической линеаризации

Метод гармонической линеаризации является приближенным методом исследования режима автоколебаний нелинейных систем. Этим методом можно определить условия возникновения и параметры автоколебаний как в системах второго порядка, так и в более сложных системах.

Метод основан на замене существенно нелинейного элемента системы эквивалентным линейным звеном. В замкнутой автоматической системе, работающей в режиме автоколебаний. Условием эквивалентности служит равенство амплитуд и фаз выходного сигнала эквивалентного звена и первой гармоники выходного сигнала реального нелинейного элемента. При этом предполагается, что сигнал на входе нелинейного элемента является синусоидальным. Такое предположение справедливо во всех случаях, когда линейная часть системы достаточно инерционна и не пропускает высокочастотные гармоники.

Рассмотри м типовую нелинейную систему

Рис. 4.48.

Если система находится в режиме автоколебаний, то на входе в нелинейный элемент сигнал является синусоидой:

(4.34)

На выходе нелинейного элемента сигнал имеет вид периодического сигнала, в общем случае отличного от синусоидального. Уравнение такого сигнала имеет вид:

(4.35)

Известно, что любой периодический сигнал может быть разложен в ряд Фурье и тем самым представлен в виде суммы гармонических составляющих:

(4.36)

где ,- коэффициенты ряда Фурье определяются по формулам:

(4.37)

(4.38)

где Т – период повторения сигнала.

Однако уравнения (4.36) можно упростить, если учитывать следующее:

1. Статические характеристики большинства нелинейных элементов являются кососимметричными, т.е. симметричными относительно начала координат (). В этом случае постоянная составляющая и коэффициенты всех четных гармоник равны нулю().

2. Линейная часть нелинейных систем, которая располагается за нелинейным элементом, выполняет роль фильтра низких частот, т.е. на выходе нелинейной системы гасятся все гармоники кроме первой.

(4.39)

3,5....

На основе этих предпосылок уравнение (4.36) приобретает вид:

(4.40)

Из уравнения (4.34) можно получить:

(4.41)

(4.42)

(4.43)

Тогда уравнение (4.40) имеет вид:

(4.44)

Введем обозначения:

(4.45)

С учетом (4.45) уравнение (4.44) имеет вид:

(4.46)

или в операторном виде:

(4.47)

Таким образом, при выполнении указанных выше допущений нелинейное уравнение (4.35) может быть заменено линейным уравнением (4.46)или (4.47). Эта операция называется гармонической линеаризацией, уравнение (4.46) –уравнением гармонической линеаризации, а коэффициенты - коэффициентами гармонической линеаризации. Коэффициенты гармонической линеаризации зависят от вида нелинейной характеристики и могут быть определены по формулам (4.37), (4.38), (4.45).

Коэффициенты наиболее часто встречающихся нелинейных элементов приведены в таблице.*

Значения коэффициентов гармонической линеаризации.

Нелинейный элемент

Гармоническая линеаризация принципиально отличается от обычной линеаризации. При гармонической линеаризации:

· коэффициенты гармонической линеаризации и не являются постоянными, а зависят от амплитуды входного сигнала .

· Уравнение гармонической линеаризации содержит две составляющие: входной сигнал и его производную.

Дата добавления: 2014-01-07