Дифференциальное уравнение Кармана равновесия продольных сил в очаге деформации

Выделим в низком и широком очаге деформации (например, в зоне отставания) на расстоянии х от сечения выхода элемент abcd длиной dx (рис 63), находящийся в статическом равновесии. Ему соответствует центральный угол d j _х. Угол j отрицательный слева от осевой плоскости валков и положительный - справа.

Справа на выделенный элемент действует сила

-s_xh_xb,

где s_x – среднее по высоте напряжение сжатия, действующее противоположно направлению оси х.

Аналогично, на левую площадку высотой (h_x+dh_x) действует сила

(s_x + ds_x)(h_x+dh_x) b,

направленная по оси х.

По поверхности контакта выделенного элемента действуют силы нормального давления р и трения t, причем t в зоне опережения действует по ходу прокатки (в положительном направлении по оси х), а в зоне отставания – в обратном направлении.

Для выделенного элемента сумма проекций всех сил на ось Х равна нулю:

(s_x + ds_x)(h_x+dh_x) b - s_xh_xb + 2р× sinj_х× bdx/ cosj_х + 2t× cosj_х × bdx/ cosj_х =0.

Делим на b, отбрасываем бесконечно малые второго порядка и группируем члены:

Данное выражение впервые было получено Карманом.

Выражение в скобках есть полный дифференциал. Касательные напряжения на соответствующем участке зоны контакта выразим формулой:

.

Знак касательных напряжений учтём в формулах.

Подставляем t_x в уравнение и делаем замену переменной X на j, учитывая, что

.

В результате получаем уравнение равновесия в форме Орована:

.

Это уравнение может быть решено подстановкой вместо p и μ аппроксимирующих степенных функций. Причём решение будет справедливым и для случая прокатки с трением (т.е. при невыполнении гипотезы плоских сечений). Уравнение справедливо также при наличии зоны упругого восстановления полосы на выходе из валков.

Рассмотрим решение дифференциального уравнения, полученное Карманом (считаем далее угол j положительным).

Подставим в уравнение

dx = dh_x / 2tgj_x.

Получаем

.

Для элемента, выделенного в зоне опережения, последнее слагаемое будет иметь знак “-” (минус).

При малом угле j_x (соответствует прокатке тонких полос) и малом коэффициенте трения (справедлива гипотеза плоских сечений) вполне можно считать главное напряжение s₃, нормальное напряжение s_y и давление р равными

s₃ @ s_y @ - р.

Справедливо будет в этом случае также

s₁ @ s_х

Тогда условие пластичности металла запишем в виде (здесь принято сжимающее s_х>0)

р - s_х = nК,

где К - предел текучести материала при прокатке, который зависит от температуры, степени и скорости деформации. Коэффициент Лодэ n на узких образцах (при плоском напряженном состоянии) равен единице, а на широких образцах (при плоской деформации)

n = 1,155.

Продифференцировав последнее равенство, будем иметь (считаем К =const):

dp = ds_x.

Подставляя в уравнение равновесия условие пластичности а также закон трения Кулона t = m р, получим известное упрощенное уравнение Т. Кармана ( выше - полное уравнение Кармана ), справедливое для прокатки тонких полос с низким трением:

.

Для зоны опережения будет знак ”+”.

Лекция 17

Дата добавления: 2014-01-07