Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Доверительный интервал для вероятности




 

Пусть случайная величина Х имеет только два возможных значения: 0 и 1. В результате проведения достаточно большого количества наблюдений эта случайная величина приняла единичное значение n раз. Необходимо при заданной надежности 1– a определить доверительный интервал для вероятности р, оценка которой соответствует частоте w* = m*/n.

Оценка w* вероятности р является состоятельной, эффективной и несмещенной. Если оцениваемая вероятность не слишком мала и не слишком велика (0,05< p <0,95), то можно считать, что распределение случайной величины w* близко к нормальному. Этим допущением можно пользоваться, если пр и п(1–р) больше четырех. Параметры нормального распределения частоты m*x = р, S2 = р( 1 –р) / п (дисперсия S2 (m) количества успехов m составляет величину пр( 1 –р), а дисперсия частоты S2 (m)/ п2. Тогда по аналогии с определением доверительного интервала для математического ожидания нормально распределенной величины w* можно записать

 

ε = |w*– p| = u1– a/2(S2 (т))0,5 =u1– a/2(р(1–р)/п)0,5,

 

где u1– a/2 – квантиль стандартизованного нормального распределения.

Чтобы связать доверительный интервал с исходными параметрами n, w* и u1– a/2, возведем выражение для ε в квадрат, т. е. преобразуем равенство к виду

(w*–p)2=u21– a/2(1–p)p/п.

 

Доверительные границы можно получить, решив это уравнение второй степени

 

p2,1 = { nw* + 0,5u21– a/2 ± u1– a/2 [ nw*( 1 –w*) + 0,25u21– a/2 ] 0,5 } /(п + u21– a/2). (4.5)

 

С увеличением объема выборки (пw* >200, nw*( 1 –w*) >200) такими слагаемыми как u21– a/2, 0,5 u21– a/2 и 0,25 u21– a/ 2 можно пренебречь, тогда приближенно

p1 =w*– u1– a/2 [w*(1–w*)/n]0,5,

p2 =w* + u1– a/2 [w*(1–w*)/n]0,5. (4.6)

 

Более общие результаты получены с учетом того, что случайная величина w* распределена по биномиальному закону

(4.7)

где Cnk – число сочетаний из n по k.

Исходя из этого положения, для практического применения получены значения нижней р1 и верхней р2 доверительных границ

(4.8)

 

. (4.9)

 

 

где– квантиль распределения хи-квадрат уровня X с числом степеней свободы k.

Формулы (4.8) и (4.9) можно применять и в тех случаях, когда частость w* события близка (равна) нулю или близка (равна) количеству экспериментов п соответственно. В первом случае НДГ р1 принимается равной нулю и рассчитывается только ВДГ р2. Во втором случае рассчитывается НДГ р1, а верхняя граница р2 =1.

Пример 4.5. В результате наблюдения за 58 изделиями не было зафиксировано ни одного отказа. Определить доверительный интервал для вероятности отказа с надежностью 0,9.

Решение. Нижнюю доверительную границу р1 следует принять равной нулю, ВДГ

Таким образом, доверительный интервал с нижней границей 0 и верхней границей 0,05 с вероятностью 0,9 накрывает истинное значение вероятности отказа изделий.

 





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 578; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.013 сек.