Предел и непрерывность функции

Рассмотрим функцию y = x ² в точке x ₀ = 2. Значение функции в этой точке равно 4.

Отметим одну особенность поведения функции в этой точке. Можно

выбрать какое-либо положительное число e и построить e - окрестность точки y ₀ = 4. Очевидно, что найдется такая окрестность точки x ₀ = 2 (на Рис. 1 эта окрестность имеет радиус d), что если x будет лежать в этой окрестности, то соответствующее значение y, равное x ², попадет в e – окрестность точки y ₀ = 4. Это заключение справедливо для любого, сколь угодно малого числа e. Здесь точка x ₀ = 2 выбрана произвольно. Можно было бы для данной функции выбрать любую другую точку и сделать подобное заключение.

Рассмотрим функцию . Эта функция не определена в точке x ₀ = 2. При x ₀ ¹ 2 её можно преобразовать:

.

График функции представлен на Рис. 2. Хотя исходная функция не определена в точке x ₀ = 2 и естественно не равна 3 в этой точке, точка y ₀ = 3 имеет характерную особенность. Выбрав положительное число e, можно утверждать, что если рассматривать значения x, расположенные достаточно близко к точке x ₀ = 2 (или лежащие в некоторой окрестности точки x ₀ = 2, причем радиус этой окрестности зависит от e), то соответствующие значения y попадут в e-окрестность точки y ₀ = 3. Всё сказанное остаётся справедливым независимо от того, насколько малым выбрано положительное число e.

Введем понятие предела функции. Число A называется пределом функции y = f(x) в точке x₀ (иногда говорят, при x, стремящемся к x₀), если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число d, что для всех x из d – окрестности точки x₀ соответствующие значения y попадают в e – окрестность точки y = A.

Можно сформулировать определение предела функции по-другому. Число A называется пределом функции y = f(x) в точке x₀, если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число d, что для всех x, удовлетворяющих условию

0 < ê x – x ₀ê < d, выполняется условие ê y – A ê < e.

Тот факт, что A есть предел функции y = f (x) в точке x = x ₀, записывается формулой .

.

Как видно из второго из рассмотренных выше примеров, для того, чтобы функция имела предел в точке x = x ₀, не требуется, чтобы она была определена в этой точке.

Рассмотрим функцию . Очевидно, что если x > 0, то y = 2 ^x; если x < 0, то y = – 2 ^x; при x = 0 функция не определена.

График функции изображен на Рис. 3. Легко убедиться в том, что, согласно приведенному выше определению предела, эта функция в точке x = 0 предела не имеет.

Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x = x₀, если она определена в этой точке и ее значение f(x₀) равно пределу функции в этой точке: .

Функция y = x ² непрерывна в точке x = 2, как и во всех точках числовой оси. Функция не является непрерывной в точке x = 2. Функция не является непрерывной в точке x = 0.

Функция, непрерывная в каждой точке открытого промежутка, называется непрерывной на этом промежутке.

Приведем свойства предела функции.

1. Функция не может иметь в одной точке два разных предела.

2. , если C — постоянная функция.

3. Если существуети C — постоянная функция, то

.

4. Если существуюти , то существует , равный , а также существует , равный . Если при этом , то существует, равный .

Введем определения так называемых “односторонних пределов”.

Число B называется пределом функции f(x) в точке a справа (это записывается в виде формулы ), если для любого поло­жительного числа e найдется положительное число d, такое что из из условия 0 < x – a < d будет следовать ê B –f (x) ê < e.

Согласно приведенному определению . Отметим, что обыкновенного предела функция в точке x = 0 не имеет.

Число С называется пределом функции f(x) в точке b слева (это записывается в виде формулы ), если для любого поло­жительного числа e найдется положительное число d такое, что из условия 0 < b – x < d будет следовать ê C – f (x)ê < e.

Очевидно, что функция (её график, изображен на Рис. 3) имеет два односторонних предела в точке x = 0:

; .

Функция f(x) называется непрерывной в точке a справа (непрерывной в точке b слева), если

().

Функция непрерывна справа в точке x =0.

Функция называется непрерывной на замкнутом промежутке [ a, b ], если она непрерывна на открытом промежутке (a, b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.

Достаточно просто можно доказать теорему, связывающую понятия предела функции в точке и односторонних пределов. Мы ограничимся только формулировкой теоремы.

Для того, чтобы выполнялось равенство , необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два равенства:

; .

В дальнейшем нам понадобятся понятия предела функции в бесконечно удалённых точках. Рассмотрим сначала функцию f (x), определенную на полубесконечном промежутке (х ₀; ¥). Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к бесконечности:

,

если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число M (зависящее от e), что для всех чисел х, превосходящих М, выполняется условие:

½ f (x) – A ½ < e.

Пусть теперь функция f (x) определена на полубесконечном промежутке
(–¥; х ₀ ). Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к минус бесконечности:

,

если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число M (зависящее от e), что для всех чисел х, меньших, чем – М, выполняется условие:

½ f (x) – A ½ < e.

Отметим два, так называемых, "замечательных предела".

1. . Геометрический смысл этой формулы заключается в том, что прямая является касательной к графику функции в точке .

2. . Здесь e — иррациональное число, приблизительно равное 2,72.

Приведем пример применения понятия предела функции в экономических расчетах. Рассмотрим обыкновенную финансовую сделку: предоставление в долг суммы S ₀ с условием, что через период времени T будет возвращена сумма S_T. Определим величину r относительного роста формулой

. (1)

Относительный рост можно выразить в процентах, умножив полученное значение r на 100.

Из формулы (1) легко определить величину S_T: S_T = S ₀(1 + r)

При расчете по долгосрочным кредитам, охватывающим несколько полных лет, используют схему сложных процентов. Она состоит в том, что если за 1-й год сумма S ₀ возрастает в (1 + r) раз, то за второй год в (1 + r) раз возрастает сумма S ₁ = S ₀(1 + r), то есть S ₂ = S ₀(1 + r)². Аналогично получается S ₃ = S ₀(1 + r)³. Из приведенных примеров можно вывести общую формулу для вычисления роста суммы за n лет при расчете по схеме сложных процентов: S_n = S ₀(1 + r) ⁿ.

В финансовых расчетах применяются схемы, где начисление сложных процентов производится несколько раз в году. При этом оговариваются годовая ставка r и количество начислений за год k. Как правило, начисления производятся через равные промежутки времени, то есть длина каждого промежутка T_k составляет часть года. Тогда для срока в T лет (здесь T не обязательно является целым числом) сумма S_T рассчитывается по формуле

(2)

Здесь — целая часть числа , которая совпадает с самим числом, если, например, T ‑ целое число.

Пусть годовая ставка равна r и производится n начислений в год через равные промежутки времени. Тогда за год сумма S ₀ наращивается до величины, определяемой формулой

(3)

В теоретическом анализе и в практике финансовой деятельности часто встречается понятие “непрерывно начисляемый процент”. Чтобы перейти к непрерывно начисляемому проценту, нужно в формулах (2) и (3) неограниченно увеличивать соответственно, числа k и n (то есть устремить k и n к бесконечности) и вычислить, к какому пределу будут стремиться функции S_T и S ₁. Применим эту процедуру к формуле (3):

.

Заметим, что предел в фигурных скобках совпадает со вторым замечательным пределом. Отсюда следует, что при годовой ставке r при непрерывно начисляемом проценте сумма S ₀ за 1 год наращивается до величины S ₁^*, которая определяется из формулы

S ₁^* = S ₀ e^r. (4)

Пусть теперь сумма S ₀ предоставляется в долг с начислением процента n раз в год через равные промежутки времени. Обозначим r_e годовую ставку, при которой в конце года сумма S ₀ наращивается до величины S ₁^* из формулы (4). В этом случае будем говорить, что r_e — это годовая ставка при начислении процента n раз в год, эквивалентная годовому проценту r при непрерывном начислении. Из формулы (3) получаем

.

Приравнивая правые части последней формулы и формулы (4), полагая в последней T = 1, можно вывести соотношения между величинами r и r_e:

, .

Эти формулы широко используются в финансовых расчётах.

Дата добавления: 2014-01-07