Типы плоских задач теории упругости

Существует два типа плоских задач:

1. Плоское напряженное состояние (ПНС)

2. Плоское деформированное состояние (ПДС)

ПНС возникает в тонких плитах, балках-стенках, оболочках.

Здесь принимают:

На первый взгляд кажется, что и в поперечном направлении напряжения должны быть большими, но многочисленные теоретические и экспериментальные исследования показали, что в действительности:и

Рассмотрим пример:

Для этого случая существует решение сопротивления материалов

Переходим к другой схеме:

Примем сечение балки квадратным a=h, тогда:

Рассмотрим эту задачу с точки зрения теории упругости:

Рассмотрим элемент:

Сравним полученные результаты:

При l/h>>1, то , отсюда

Пусть l= 100см h=10см, тогда

Таким образом, поперечные напряжения в 300 раз меньше продольных максимальных напряжений.

Плоское деформированное состояние (ПДС) возникает в телах типа дамбы, ленточного фундамента, дорожного полотна…

Здесь , в этих телах ;;, так как здесь деформации нулевые, то это состояние называется плоским деформированным состоянием.

Однако, для обоих типов разрешающие уравнения имеют одинаковый вид, отличие состоит лишь в законе Гука.

В обоих случаях g_yz=0 или t_yz=0 соотношения выполняются одинаково.

Для граничных элементов уравнения равновесия также не отличаются.

Рассмотрим закон Гука

ПНС:

Из первых двух выражений находим напряжения через деформации, таким образом, закон Гука при этом сильно упрощается.

ПДС:

Таким образом зная σ_х и σ_у легко найдем σ_z. Выразим e_x, e_y через σ_x, σ_y

По аналогии получим:

Введем приведенные модуль Юнга и коэффициент Пуассона:

Таким образом, закон Гука для ПДС принимает вид:

То есть имеет такой же вид, как и в ПНС.

Функция напряжений (Эри)

Применяется для решения плоской задачи теории упругости.

Суть этой функции в замене трех искомых напряжений одной искомой функцией.

Функция вводится следующим образом:

Для случая, когда q_x=q_y=0 подставляем в уравнения равновесия внутреннего элемента:

Таким образом, уравнения равновесия внутреннего элемента удовлетворять уже не надо, так как они выполняются тождественно. Остается выполнить уравнения равновесия граничных элементов, условия совместности деформаций или закон Гука и соотношения Коши.

Дата добавления: 2014-01-07