Дифференциальное уравнение установившейся фильтрации несжимаемой жидкости

III. УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ОДНОРОДНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

Вывод дифференциального уравнения установившейся фильтрации несжимаемой жидкости по закону Дарси строится на основе уравнения неразрывности, уравнений движения и уравнений состояния жидкости и пористой среды.

В рассматриваемом случае (r = const) без учета деформации пористой среды (m = const) уравнение неразрывности (2.11) принимает вид

. (3.1)

Уравнения установившегося движения жидкости по закону Дарси (2.4) в поле силы тяжести принимают вид

. (3.2)

По уравнениям (3.2) находим производные

и подставляем их выражения в уравнение (3.1), получаем

,

откуда

, (3.3)

т.е. Ѳ P=0, или divgradP=0. (3.4)

Если ввести потенциал скорости фильтрации (2.6)

Ф =

и подставить в уравнения движения (3.2), то последние принимают вид

. (3.5)

Дифференцируя (3.5) по соответствующим координатам и подставляя результаты в уравнение (3.1), получим

, (3.6)

т.е потенциал скорости фильтрации Ф(x,y,z) так же, как и давление Р(x,y,z), удовлетворяет уравнению Лапласса. Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, являются непрерывными, имеющими непрерывные частные производные первого и второго порядка, называются гармоническими.

Решения уравнения Лапласса, как решения линейного однородного дифференциального уравнения, имеют следующие свойства:

1) произведение частного решения на произвольную постоянную, есть также решение этого уравнения;

2) сумма частных решений есть также решение этого уравнения;

Если, например, Р_1, Р_2, Р₃,...., Р_n - есть решения уравнения (3.3), то функция

Р = , где С_i – const

также удовлетворяет уравнению (3.3).

На основе дифференциального уравнения (3.3) или (3.6) исследуются фильтрационные характеристики всех (трех) одномерных фильтрационных потоков несжимаемой жидкости в недеформируемой пористой среде:

1) прямолинейно-параллельный;

2) плоско-радиальный;

3) радиально-сферический.

Одномерным называется фильтрационный поток жидкости, в котором скорость фильтрации и напор(давление) являются функциями только одной координаты, отсчитываемой вдоль линии тока.

Задача исследования установившегося фильтрационного потока заключается в определении законов распределения давления, скорости фильтрации и расхода (дебита) жидкости, а также в определении закона движения частиц жидкости вдоль их траектории.

Ниже производятся исследования отмеченных выше фильтрационных потоков несжимаемой жидкости в однородных коллекторах.

Дата добавления: 2014-01-07