Коэффициенты связи для порядковых данных.

Во всех предыдущих рассуждениях о таблицах сопряженности и коэффициентах связи не делалось никаких ограничений, либо допущений в отношении уровня измерения тех переменных, которые образуют таблицу. Никак не использовалась и информация о порядке следования градаций в переменных. Более того, очевидно, что если мы поменяем местами градации переменных, то это никоим образом не скажется на значении коэффициентов χ², Крамера.

Измерение взаимосвязи в таблицах, построенных с использованием порядковых переменных, вполне возможно и нередко делается с использованием коэффициентов χ², Крамера. Вместе с тем, эти коэффициенты не используют данные о порядке следования градаций, и, следовательно, лишают нас возможности использовать всю содержащуюся в переменных информацию. Для того, чтобы устранить этот недостаток, наряду с перечисленными коэффициентами, для порядковых переменных используют и другие меры связи - коэффициенты ранговой корреляции.

Для демонстрации принципов работы коэффициентов ранговой корреляции рассмотрим следующий пример (таблица 2.8). Данная таблица должна ответить на вопрос о том, насколько взаимосвязаны оценка человеком своего материального положения и оценка удовлетворенности жизнью в целом.

Коэффициенты χ², Крамера, вычисленные для этой таблицы показывают, что с большой вероятностью мы можем утверждать наличие взаимосвязи между двумя рассматриваемыми показателями, поскольку значимость обоих этих коэффициентов весьма высока (P>0,999). Однако эти коэффициенты не дают ответа на важный вопрос: с ростом удовлетворенности материальным положением возрастает, или падает удовлетворенность жизнью в целом?

Таблица 2.8

Таблица сопряженности с использованием порядковых переменных

	Как бы Вы оценили в настоящее время материальное положение вашей семьи?	Total
1. Очень хорошее	2. Хорошее	3. Среднее	4. Плохое	5. Очень плохое
Если говорить в целом, в какой мере Вас устраивает сейчас жизнь, которую Вы ведете?	1. Вполне устраивает
2. По большей части устраивает
3. Отчасти устраивает, отчасти нет
4. По большей части не устраивает
5. Совершенно не устраивает
Total

В настоящее время социологи используют несколько различных коэффициентов ранговой корреляции – ρ Спирмена, τ Кендэла, γ Гудмена-Краскала. Рассмотрим правила вычисления коэффициента γ (Гамма) Гудмена-Краскала, как наиболее простого и наиболее часто используемого при анализе социологических данных.

На первом шаге вычисления коэффициента γ фиксируются количества респондентов, у которых значение первой переменной не меньше значений второй переменной. Например, в таблице 2.8 у 5 респондентов значения обоих переменных равны 1, у 35 респондентов значения обеих переменных равны 2 и т.д. Таблицы 2.9 и 2.10 демонстрируют схему таких вычислений.

Таблица 2.9

Схема определения показателя S для вычисления коэффициента γ.

Шаг 1

	1. Очень хорошее	2. Хорошее	3. Среднее	4. Плохое	5. Очень плохое
1. Вполне устраивает
2. По большей части устраивает
3. Отчасти устраивает, отчасти нет
4. По большей части не устраивает
5. Совершенно не устраивает

Шаг 2

	1. Очень хорошее	2. Хорошее	3. Среднее	4. Плохое	5. Очень плохое
1. Вполне устраивает
2. По большей части устраивает
3. Отчасти устраивает, отчасти нет
4. По большей части не устраивает
5. Совершенно не устраивает

Шаг 3

	1. Очень хорошее	2. Хорошее	3. Среднее	4. Плохое	5. Очень плохое
1. Вполне устраивает
2. По большей части устраивает
3. Отчасти устраивает, отчасти нет
4. По большей части не устраивает
5. Совершенно не устраивает

Шаг 4

	1. Очень хорошее	2. Хорошее	3. Среднее	4. Плохое	5. Очень плохое
1. Вполне устраивает
2. По большей части устраивает
3. Отчасти устраивает, отчасти нет
4. По большей части не устраивает
5. Совершенно не устраивает

На таблице 2.10 представлена схема вычисления показателя S – количество пар, в которых значение первой переменной не меньше значений второй переменной.

S = 5*(35+31+3+1+284+649+200+49+15+201+340+185+5+14+55+118) +

35*(649+200+49+201+340+185+14+55+118)+

649*(340+185+55+118)+

340*118 = 567432.

Таблица 2.10

Схема определения показателя D для вычисления коэффициента γ.

Шаг 1

	1. Очень хорошее	2. Хорошее	3. Среднее	4. Плохое	5. Очень плохое
1. Вполне устраивает
2. По большей части устраивает
3. Отчасти устраивает, отчасти нет
4. По большей части не устраивает
5. Совершенно не устраивает

Шаг 2

	1. Очень хорошее	2. Хорошее	3. Среднее	4. Плохое	5. Очень плохое
1. Вполне устраивает
2. По большей части устраивает
3. Отчасти устраивает, отчасти нет
4. По большей части не устраивает
5. Совершенно не устраивает

Шаг 3

	1. Очень хорошее	2. Хорошее	3. Среднее	4. Плохое	5. Очень плохое
1. Вполне устраивает
2. По большей части устраивает
3. Отчасти устраивает, отчасти нет
4. По большей части не устраивает
5. Совершенно не устраивает

Шаг 4

	1. Очень хорошее	2. Хорошее	3. Среднее	4. Плохое	5. Очень плохое
1. Вполне устраивает
2. По большей части устраивает
3. Отчасти устраивает, отчасти нет
4. По большей части не устраивает
5. Совершенно не устраивает

В таблицах 2.10 представлена схема вычисления показателя D – количество пар, в которых значение первой переменной не меньше значений второй переменной.

D = 3*(3+1+1+35+31+3+1+284+649+200+49+15+201+340+185)+

15*(1+1+31+3+1+649+200+49)+

649*(1+1+3+1)+

3*1 = 23916.

Имея значения S и D можно непосредственно вычислить коэффициент γ по формуле (2.7).

Для таблицы 2.8 значение γ составляет 0,763. О чем говорит такое значение коэффициента, и, более того, как вообще интерпретируются ранговые коэффициенты связи?

В целом, ранговые коэффициенты связи характеризуют ситуацию, когда сопоставляя двух случайно отобранных респондентов, у которых измеряются две порядковых переменных А и В мы можем сказать, что если у первого респондента значение переменной А больше, чем у второго респондента, то у него будет больше и значение по переменной В. Количество пар респондентов, у которых это правило выполняется и есть только что построенный показатель S. Количество пар респондентов, для которых действует обратное правило, то есть таких пар, у которых переменная А у первого респондента имеет значение больше, чем у второго, а переменная В – меньше, фиксируется показателем D. Таким образом, коэффициент γ фиксирует то, каких пар больше.

Из формулы (2.8) следует, что коэффициент γ может изменяться в интервале от -1 до +1. При этом коэффициент равен +1 в том случае, когда показатель D равен 0, то есть в ситуации, когда для всех респондентов верно, что если переменная А= i, а переменная В= j, то всегда i > j. Соответственно, γ равна -1 когда в той же ситуации переменных А и В всегда i < j.

Что означает ситуация, когда одна пара переменных, скажем А₁ и А₂ имеет более высокое (по абсолютной величине) значение коэффициента γ, чем пара переменных В₁ и В₂? Это означает, что для переменных А₁ и А₂ вероятность «правильного порядка» значений переменных выше, чем для переменных В₁ и В₂. Под «правильным порядком» мы понимаем такой, при котором если А= i, а В= j, то всегда i > j. или i < j. Вообще, коэффициент γ, имеет прямую вероятностную интерпретацию – это разность между вероятностями правильного и неправильного порядка для пары случайно извлеченных из выборки наблюдений[4]. Именно в этом смысле следует понимать силу связи, которая фиксируется ранговыми коэффициентами корреляции.

Как в реальной практике определить, насколько велико полученное значение коэффициента γ, можно ли сказать, что если в одном исследовании коэффициент γ =0,5, а в другом - γ =0,6, то во втором исследовании имеет место более тесная связь между анализируемыми показателями? Поскольку для коэффициента γ известно теоретическое распределение, то пакет SPSS одновременно со значением коэффициента вычисляет также и значение стандартной ошибки. Благодаря этому возможно построение доверительного интервала для коэффициента γ. В таблице 2.11 приведены результаты, которые выводит команда CROSSTABS при запросе на вычисление коэффициента γ для данных, приведенных в таблице 2.8.

Таблица 2.11

Результаты вычисления коэффициента ранговой корреляции γ

для данных таблицы 2.8.

	Value	Asymp. Std. Error	Approx. T	Approx. Sig.
Gamma	,763	,015	37,143	,000

Основываясь на данных таблицы 2.11 можно сказать, что с вероятностью 95% значение коэффициента γ для генеральной совокупности составляет 0,763 + 0,03. Так же статистический пакет в колонке «Approx. Sig.» (приблизительная значимость) оценивает справедливости гипотезы Н₀, которая формулируется следующим образом. «Величина коэффициента ранговой корреляции γ для анализируемых переменных равна 0». Как видно из таблицы 2.11 вероятность того, что данная гипотеза справедлива равна 0,000, и, следовательно, у нас есть основания утверждать, что с вероятностью Р>0,999 коэффициент ранговой корреляции для этих переменных отличен от нуля.

Если же нам необходимо решить задачу сравнения коэффициентов γ, вычисленных для двух разных социальных совокупностей, то необходимо: 1) вычислить доверительные интервалы для обоих коэффициентов и 2) посмотреть, пересекаются ли эти доверительные интервалы. Если они не пересекаются, то мы, с соответствующей доверительной вероятностью, можем утверждать, что эти коэффициенты различны.

В настоящее время социологи используют несколько различных коэффициентов ранговой корреляции – ρ Спирмена, τ Кендэла,

Дата добавления: 2014-01-07