Операция дифференцирования как линейный оператор

Операция дифференцирования – взятия производной от определенной функции – также является линейным оператором.

В этом случае это множество всех (дифференцируемых нужное количество раз) функций, а это тоже множество функций (но уже дифференцируемых количество раз, на единицу меньше, чем у функций из множества ).

Обозначая элемент множества через , легко проверяем выполнимость условий 1) и 2) из определения линейного оператора.

. (3)

Оператор

. (4)

где произвольная функция, также является линейным.

Обозначим далее оператор дифференцирования – . Тогда будет обозначаться я производная от рассматриваемой функции. Произвольное линейное дифференциальное уравнение порядка с постоянными коэффициентами запишется тогда в виде

. (5)

Здесь это многочлен относительно переменной , которая заменена в (5) на символ дифференцирования. Этот многочлен называется символом оператора .

Известно, что любой многочлен степени может быть представлен в виде:

. (6)

Соотношение (6) учитывает, что, в общем случае, многочлен может иметь кратные корни.

Таким образом, уравнение (5) принимает вид:

. (7)

Методом математической индукции доказывается справедливость следующего соотношения:

. (8)

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами:

. (9)

Правая часть его может быть, с учетом сказанного выше, преобразована к виду

. (10)

Операцией, обратной к операции дифференцирования, является операция интегрирования. Поэтому естественно определить:

. (11)

Из (9), с учетом (10) и (11), получим символическую запись решения:

. (12)

Таким образом, имеем символическую запись процедуры нахождения решения уравнения (7) в предположении, что все его корни – простые:

. (13)

Дата добавления: 2014-01-07