КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Операция интегрирования
Оператор взятия неопределенного интеграла – также является оператором линейным. Свойство некоего объекта быть «дифференцирующим» (иногда – «разностным») или «интегрирующим» (иногда – «суммирующим») часто задаются как функции неких черных ящиков, которые выполняют в системе некие управляющие функции.
4. Процессы "без памяти" – марковские процессы.
Рассмотрим систему. Пусть она может быть в некотором количестве разных состояний. Пусть вследствие каких-то причин – либо внутреннего, либо внешнего происхождения – система будет переходить из одного состояния в другое. Такие переходы могут быть двух родов. Переходы первого рода – когда система из состояния переходит в состояние : , и притом такой переход осуществляется всегда. Таким образом, процессы в системе – для этого класса случаев – могут быть заданы как цепочка сменяющих друг друга состояний. Но может быть и другой случай: система осуществляет переход в вероятностном смысле. Другими словами, конечное состояние системы уже не фиксировано, и для следующего состояния системы открыты, в общем случае, все состояния (включая и вероятность – возможность – остаться в прежнем). Для практических приложений важное значение имеет случай, когда вероятности перехода системы в иное состояние зависят только от текущего ее состояния, – то есть от того состояния, в котором она находится в настоящий момент, но не от того, в каких состояниях она находилась ранее. Именно такие случаи имеют место во многих экономических ситуациях. Совершенно безразлично, какие достижения имела фирма ранее: инвесторов, интересует ее прогноз на будущее – а он определяется только ее настоящим положением на рынке.
Случайные процессы могут служить достаточно мощным аппаратом для моделирования динамики, смены состояний и перспектив развития в социальных и экономических системах. Существуют разные способы рассмотрения такой случайности. Например, случайность может быть «введена» на уровне модели исследуемой системы посредством того, что переходы между состояниями системы осуществляются в случайные моменты времени. Или же – сами переходы являются случайными, – например, существует вероятность перехода в несколько разных состояний. В общем же случае – может быть все: и случайные моменты времени, и случайные переходы между состояниями, да и сами вероятности таких переходов могут быть случайными – например, когда они происходят под воздействием случайных изменений во внешней по отношению к исследуемой системе среде. Заметим, что в последнем случае мы приходим к модели описания взаимодействия изучаемой системы с внешней средой.
Идея подхода к моделированию социальных и экономических систем с помощью стохастических дифференциальных уравнений состоит в том, что взаимодействие системы с внешним окружением полагается изменяющимся случайным образом. В этом случае приращение состояния системы задается формулой:
. (14)
Здесь полагается, что взаимодействие между исследуемой системой и внешней средой описывается при помощи случайного процесса
, (15)
где задается неким усредненным состоянием окружающей среды, а изменяющаяся случайная добавка – «шум» – имеет нулевое среднее значение и дисперсию, равную s2. В (14) первый член является дифференциальным уравнением, описывающим эволюцию системы, а второй – описывает случайные добавки в это дифференциальное уравнение.
5. Уравнение Колмогорова (Фоккера-Планка) и его статистическая интерпретация.
Текущее состояние исследуемой системы может быть описано только в рамках плотности вероятности для того, чтобы обнаружить систему в момент времени в некоем состоянии (мы перешли к обозначению состояний маленькими буквами). Зная вид уравнения (14) для эволюции состояния системы, необходимо найти эволюцию со временем плотности вероятности для системы иметь состояние в момент времени . Из теории стохастических дифференциальных уравнений известно, что искомая плотность вероятности может быть найдена как решение дифференциального уравнения в частных производных
. (16)
Уравнение (16) называется прямым уравнением Колмогорова, или чаще – особенно в англоязычной литературе – уравнением Фоккера-Планка. Отметим, что, в общем случае, могут быть разные интерпретации уравнения (14) – соответственно и разные уравнения Фоккера-Планка. Для широкого класса уравнений вида (14) уравнение (16) допускает стационарное решение. Это означает, что для произвольного вида начальной плотности вероятности с течением времени устанавливается стационарная плотность вероятности, или, иными словами, имеет место асимптотический закон при . Пользуясь формулами (14) или (16) можно даже записать вид такой стационарной плотности вероятности. Она задается формулой
. (17)
Здесь нормировочный множитель, который находится по формуле
. (18)
Если вычисленное значение, конечно, то стационарная плотность вероятности существует и для ее вычисления имеет место формула (17). Таким образом, имеет место простой алгоритм действий: если имеется задача, задаваемая уравнением вида (14), то вычисляется для нее интеграл (18). Если он конечен – то задача допускает существование стационарной плотности вероятности, выражение для которой может быть вычислено по формуле (17).
Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 421; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |