Для удобства расчетов номинал облигации приравнивается к 100%, а ставка дисконта выражается в виде десятичной дроби (0,12 соответствует в расчетах 12%, а 0,076 равнозначно 7,6%)

Пример 1. Рассчитать, какую цену инвесторы готовы заплатить за бескупонную облигацию со сроком обращения 1 год, если банковские кредиты на такой же срок предоставляются под 12,6% годовых:

PV = 100 / (1 + 0,126)^365/365 = 88,81% (888,09 руб. при номинале 1000 руб.)

Пример 2. Определить, какую цену будут предлагать инвесторы за бескупонную облигацию при той же ставке дисконта, но с более длительным сроком обращения ценной бумаги – 2 года:

PV = 100 / (1 + 0,126)^730/365 = 78,87% (788,72 руб. при номинале 1000 руб.)

Пример 3. Определить рыночную стоимость бескупонной облигации, выпущенной на срок 6 месяцев (182 дня), при ставке дисконта 12,6%:

PV = 100 / (1 + 0,126) ^182/365 = 94,254% (942,54 руб. при номинале 1000 руб.)

Во всех приведенных выше примерах, несмотря на разную рыночную стоимость облигаций, инвесторы получат при их погашении одинаковую доходность – 12,6% годовых, рассчитанную по ставке сложного процента.

Расчеты с использованием простого процента дают несколько иные результаты для облигации, выпущенной на срок 6 месяцев (на 182 дня):

PV = 100 / (1 + 0,126/365 × 182) = 94,089% (940,89 руб. при номинале 1000 руб.)

Простой процент в расчетах рыночной стоимости используется для дисконтных облигаций со сроком обращения не более 1 года. Рыночную стоимость и доходность купонных облигаций, выпущенных на срок более 1 года, принято рассчитывать на основе сложного процента.

На практике период обращения и период владения облигациями очень часто не совпадают, так как большинство инвесторов приобретают облигации не при их первичном размещении, а на вторичном рынке. Кроме того, облигации погашаются в строго определенный день, т.е. период инвестирования измеряется в днях, а не годах, как это имеет место при расчете эффективности инвестиционных проектов. По этой причине степень в коэффициенте дисконтирования должна быть выражена в днях.

Пример 3а. Определить рыночную стоимость бескупонной облигации, выпущенной на срок 6 месяцев (182 дня), при ставке дисконта 12,6%, используя в расчетах период обращения облигаций, выраженный в годах и днях.

PV = 100 / (1 + 0,126) ^182/365 = 94,254% (942,54 руб. при номинале 1000 руб.)

PV = 100 / (1 + 0,126) ^1/2 = 94,239% (942,39 руб. при номинале 1000 руб.)

Как видно из этого примера, использование в коэффициенте дисконтирования количества дней до погашения, а не периода обращения, выраженного в годах, дает более точный результат в расчетах рыночной стоимости облигаций (94,254%, а не 94,239%).

2. Определение рыночной стоимости облигаций с постоянным доходом. Денежные потоки по купонным облигациям состоят из регулярных купонных выплат и номинальной стоимости, которую инвестор получает при погашении бумаги. Таким образом, для оценки подобного типа облигаций к текущей стоимости приводится не только ее номинал, но и все будущие купонные платежи:

PV = CF₁/(1 + r)^t1/365 + CF ₂/(1 + r)^t2/365 + … + CF _n/ (1 + r)^T/365 + N / (1 + r)^T/365, (4.5.3)

где PV - текущая цена облигации; r - рыночная ставка (ставка дисконта); N – стоимость инвестиции в будущем (номинал или цена выкупа); CF (Cash Flow) – размер 1-го, 2-го, …, n-го купонных платежей (годовая ставка купона, деленная на 365 дней и умноженная на количество дней в купонном периоде); t – количество дней до выплаты 1-го, 2-го, …, n-го купонов; T – количество дней до погашения облигации (срок инвестирования). Купонные платежи объявляются эмитентом как в процентном, так и рублевом выражении. Для удобства расчетов на практике используют процентные значения купонов.

Пример 4. Определить текущую стоимость трехлетней облигации с купонной ставкой 8% годовых, выплачиваемой 4 раза в год, если норма дисконта (рыночная стоимость капитала) равна 12,0%, а купонный период составляет 91 день.

Размер купонного платежа – 8,0/365×91 = 1,995%.

Дисконтированная стоимость купонных платежей:

1 платеж – 0,01995 / (1+0,12)^91/365 = 0,019394 (1,939%)

2 платеж – 0,01995 / (1+0,12)^182/365 = 1,885%

3 платеж – 0,01995 / (1+0,12)^273/365 = 1,833%

4 платеж – 0,01995 / (1+0,12)^364/365 = 1,782%

5 платеж – 0,01995 / (1+0,12)^455/365 = 1,732%

6 платеж – 0,01995 / (1+0,12)^546/365 = 1,684%

7 платеж – 0,01995 / (1+0,12)^637/365 = 1,637%

8 платеж – 0,01995 / (1+0,12)^728/365 = 1,591%

9 платеж – 0,01995 / (1+0,12)^819/365 = 1,547%

10 платеж – 0,01995 / (1+0,12)^910/365 = 1,504%

11 платеж – 0,01995 / (1+0,12)^1001/365 = 1,462%

12 платеж – 0,01995 / (1+0,12)^1092/365 = 1,421%

Суммарная дисконтированная стоимость купонных платежей – 20,018%.

Дисконтированная стоимость номинала: 100 / (1+0,12)^1092/365 = 71,244%.

Текущая стоимость облигации: 20,018% + 71,244% = 91,262%.

Таким образом, норма доходности в 12,0% будет обеспечена, если инвестор приобретет облигацию по цене 912,62 руб. при ее номинальной стоимости 1000 руб.

Пример 5. Определить текущую стоимость трехлетней облигации с купонной ставкой 8% годовых, выплачиваемой 4 раза в год, если норма дисконта (рыночная стоимость капитала) равна 6,0%. Купонный период составляет 91 день.

Размер купонного платежа – 8,0/365×91 = 1,995%.

Дисконтированная стоимость купонных платежей:

1 платеж – 0,01995 / (1+0,06)^91/365 = 0,019662 (1,966%)

2 платеж – 0,01995 / (1+0,06)^182/365 = 1,938%

3 платеж – 0,01995 / (1+0,06)^273/365 = 1,910%

4 платеж – 0,01995 / (1+0,06)^364/365 = 1,882%

5 платеж – 0,01995 / (1+0,06)^455/365 = 1,855%

6 платеж – 0,01995 / (1+0,06)^546/365 = 1,829%

7 платеж – 0,01995 / (1+0,06)^637/365 = 1,802%

8 платеж – 0,01995 / (1+0,06)^728/365 = 1,776%

9 платеж – 0,01995 / (1+0,06)^819/365 = 1,751%

10 платеж – 0,01995 / (1+0,06)^910/365 = 1,725%

11 платеж – 0,01995 / (1+0,06)^1001/365 = 1,700%

12 платеж – 0,01995 / (1+0,06)^1092/365 = 1,676%

Суммарная дисконтированная стоимость купонных платежей – 21,810%.

Дисконтированная стоимость номинала: 100 / (1+0,06)^1092/365 = 84,002%.

Текущая стоимость облигации: 84,002% + 21,810% = 105,812%.

При заданных в этом примере условиях облигация будет торговаться по цене 1058,12 руб., то есть выше номинала. Обещанная эмитентом сверхдоходность (купонный доход 8% при рыночной стоимости капитала 6%) нивелируется рынком.

2. Определение рыночной стоимости облигаций с фиксированным купоном. Для оценки облигаций с фиксированным купоном используется та же формула (4.5.3), что и для определения цены облигаций с постоянным доходом, с той лишь разницей, что величина купонных платежей будет различной в разные купонные периоды. Покажем это на следующем примере.

Пример 6 .Определить текущую стоимость трехлетней облигации с купонной ставкой 11,8% годовых для первого, 11,0% для второго и 10,8% для третьего года выплат. Купонный период 182 дня. Норма дисконта (рыночная стоимость капитала) в первый год равна 12,0%, во второй год прогнозируется в размере 11,6%, в третий – 11,4%.

Поскольку ставка дисконтирования для разных периодов неодинакова, текущая стоимость номинала рассчитывается исходя из средней за три года ставки дисконтирования: (0,12+0,116+0,114)/3 = 0,1167 = 11,67%.

Размер купонных платежей:

1-го и 2-го – 11,8/365×182 = 5,884%

3-го и 4-го – 11,0/365×182 = 5,485%

5-го и 6-го – 10,8/365×182 = 5,385%

Дисконтированная стоимость купонных платежей:

1 платеж – 0,058838 / (1+0,12)^182/365 = 0,055605 (5,561%)

2 платеж – 0,058838 / (1+0,12) ^364/365 = 5,255%

3 платеж – 0,054849 / (1+0,116)^546/365 = 4,654%

4 платеж – 0,054849 / (1+0,116)^728/365 = 4,407%

5 платеж – 0,053852 / (1+0,114)^910/365 = 4,114%

6 платеж – 0,053852 / (1+0,114)^1092/365 = 3,899%

Суммарная дисконтированная стоимость купонных платежей – 27,890%.

Дисконтированная стоимость номинала: 100 / (1+0,1167)^1092/365 = 71,876%.

Текущая стоимость облигации: 27,890% + 71,876% = 99,766%.

4. Определение рыночной стоимости облигаций с переменным (плавающим) купоном. Рыночная стоимость данного вида облигаций хуже всего поддается оценке, так как только для первого (ближайшего) купона известен точный размер платежа. Для всех остальных купонных платежей инвестору необходимо сделать прогнозную оценку, точность которой может заметно повлиять на расчетную цену облигации. В целом для расчета текущей цены облигаций с переменным купоном применима приведенная выше формула (4.5.3). На практике при выставлении котировок по облигациям данного типа участники рынка чаще всего ориентируются не на прогнозные величины, а на доходность по ближайшему купону, принимая ставку всех неизвестных купонов на уровне ближайшего известного купона.

5. Определение рыночной стоимости бессрочных облигаций. Потоки платежей по бессрочной облигации по существу представляют собой вечную ренту (аннуитет). Платежами являются купонные выплаты, при этом предполагается, что номинальная стоимость облигации эмитентом никогда не будет погашена. Коэффициент дисконтирования – 1/(1+r)^∞ – при очень большой продолжительности выплаты ренты стремится к нулю, т.е. становится несущественным. (Действительно, текущая стоимость 100 руб., которые инвестор получит, допустим, через 120 лет, при норме дисконта 6% равна всего 9 коп.)

Формула для определения текущей стоимости подобного аннуитета выглядит следующим образом:

PV = K / r × 100%, (4.5.4)

где PV - текущая цена облигации; K – годовая ставка купонного платежа; r - рыночная ставка (ставка дисконта).

Если купонные платежи осуществляются несколько раз в год, формула вычисления текущей цены вечной ренты приобретает вид:

PV = K / [m × ( (1 + r) ^1/m – 1)], (4.5.5)

где PV - текущая цена облигации; K – годовая ставка купонного платежа; r - рыночная ставка (норма дисконта); m – количество купонных выплат в году.

При практическом применении формулы (4.5.5) годовую ставку купонного платежа необходимо указывать в процентах (11,6%, а не 0,116), иначе расчет будет неправильным.

Пример 7. Годовая ставка купона по бессрочной облигации Казначейства США составляет 6,64%. Размер купонного платежа равен 66,40 USD, номинал облигации – 1000 USD. Купон выплачивается один раз в год. Определить текущую стоимость ценной бумаги исходя из требуемой нормы доходности 7,5%.

PV = 0,0664 / 0,075 × 100% = 88,53%.

Пример 8. Облигация фирмы IBM со сроком обращения 100 лет дает годовой купонный доход 7,72%, выплачиваемый 2 раза в год. Определить текущую цену облигации, если требуемая норма доходности оценивается в 8,5%.

PV = 7,72 / [ 2 × ( (1 + 0,085) ^0,5 – 1) ] = 92,71%.

6. Определение рыночной стоимости облигаций с выплатой процентов в конце срока. Купонный доход по облигациям такого типа начисляется обычно на основе сложного процента и выплачивается в момент погашения вместе с номинальной стоимостью. То есть в день погашения облигации инвестор получает сумму N×(1+K)^t/365. Именно эта сумма дисконтируется при определении текущей стоимости облигации:

PV = [N × (1 + K)^t/365] / (1 + r)^t/365, (4.5.6)

где PV - текущая цена облигации; N – стоимость инвестиции в будущем (номинал); K – купонный доход; r - рыночная ставка (ставка дисконта); t – срок до погашения облигаций в днях.

Пример 9. По облигации номинальной стоимостью 1000 руб. производится начисление 12,68% в год. Срок до погашения облигации 1,5 года (546 дней). Проценты выплачиваются в момент погашения облигации. Определить рыночную стоимость облигации при ставке дисконтирования 12% годовых.

PV = [ 100 × (1 + 0,1268) ^546/365 ] / (1 + 0,12)^546/365 = 100,91%.

Все приведенные выше примеры иллюстрировали способы определения рыночной стоимости облигаций в предположении, что приобретенная при первичном размещении облигация не будет продана до ее погашения. Однако очень часто инвестор, пересматривая свой портфель, принимает решение о продаже той или иной облигации в момент времени между двумя купонными выплатами. На вторичном рынке сделки по облигациям тоже чаще всего осуществляются не в день выплаты купона, а в промежутках между купонными платежами.

В этом случае принципиальное значение для ценообразования облигаций приобретает так называемый «накопленный купонный доход» (НКД). Смысл этого понятия продемонстрируем на следующем примере.

Пример 10. Банк России объявил о проведении 6 февраля 2002 г. на Московской межбанковской валютной бирже аукциона по продаже облигаций федерального займа с переменным купонным доходом (выпуск №29003RMFS) из собственного портфеля с обязательством обратного их выкупа 18 марта 2002 г. Номинал облигации 1000 руб. Процентная ставка по ближайшему купону, выплачиваемому 17 апреля 2002 г., - 12% годовых. Дата выплаты предыдущего купонного дохода - 18 апреля 2001 г. Определить накопленный купонный доход на дату проведения аукциона.

Для определения НКД нужно располагать тремя известными величинами – величиной купонного дохода (годовая ставка или размер ближайшего купона), продолжительностью купонного периода и периода владения ценной бумагой. В примере 10 ставка купонного дохода известна – 12% годовых. Период владения облигацией можно определить одним из двух способов:

1-й способ – посчитать количество дней от даты предыдущей выплаты купона (18 апреля 2001 г.) до даты аукциона (6 февраля 2002 г.) – 294 дня.

2-й способ – посчитать дни от даты аукциона (6 февраля 2002 г.) до выплаты ближайшего купона (17 апреля 2002 г.) и отнять полученную величину от купонного периода. Купонный период объявляется в проспекте эмиссии, однако его можно определить и самостоятельно: количество дней от даты предыдущего купона (18 апреля 2001 г.) до даты ближайшего купона (17 апреля 2002 г.) – 364 дня. 364 – 70 = 294 дня.

Накопленный купонный доход рассчитывается по одной из двух формул:

НКД = К / 365 × t, (4.5.7а)

НКД = К1/Т × (Т – t1) (4.5.7б)

где К – годовой купонный доход; К₁ – размер ближайшего купона; Т – длительность текущего купонного периода; t – период владения облигацией в днях; t₁ - количество дней до выплаты ближайшего купона.

Определим НКД для примера 10:

НКД = 12% / 365 × 294 = 9,666%.

При номинале облигации 1000 руб. накопленный купонный доход 9,666% будет соответствовать 96,66 руб.

Рассчитанное значение НКД представляет собой часть купонного дохода, на которую вправе претендовать продавец (в данном случае Банк России). Свое право на получение этой части купонного дохода за 294 дня владения облигацией он может реализовать путем включения величины НКД в цену облигации (см. рисунок 1).

Дата добавления: 2014-01-07