Ранжирование

Метод представляет собой процедуру упоря­дочения объектов, выполняемую экспертом. На основе знаний и опыта эксперт располагает объекты в порядке предпочтения, ру­ководствуясь одним или несколькими выбранными показателя­ми сравнения. В зависимости от вида отношений между объекта­ми возможны различные варианты упорядочения объектов.

Рассмотрим эти варианты. Пусть среди объектов нет одина­ковых по сравниваемым показателям, т.е. нет эквивалентных объектов. В этом случае между объектами существует только от­ношение строгого порядка. В результате сравнения всех объек­тов по отношению строгого порядка составляется упорядочен­ная последовательность а₁ > a ₂ >... > a_N где объект с первым номером является наиболее предпочтительным из всех объектов, объект со вторым номером менее предпочтителен, чем первый объект, но предпочтительнее всех остальных объектов и т.д. По­лученная система объектов с отношением строгого порядка при условии сравнимости всех объектов по этому отношению обра­зует полный строгий порядок. Для этого отношения доказано существование числовой системы, элементами которой являют­ся действительные числа, связанные между собой отношением неравенства >. Это означает, что упорядочению объектов соот­ветствует упорядочение чисел х₁ >... > x_n, где x_i=j(a_i). Возмож­на и обратная последовательность х₁ <... < x_n, в которой наибо­лее предпочтительному объекту приписывается наименьшее чис­ло и по мере убывания предпочтения объектам приписываются большие числа.

Соответствие перечисленных последовательностей, т.е. их гомоморфизм, можно осуществить, выбирая любые числовые представления. Единственным ограничением является монотон­ность преобразования. Следовательно, допустимое преобразова­ние при переходе от одного числового представления к другому должно обладать свойством монотонности. Таким свойством допустимого преобразования обладает шкала порядков, поэто­му ранжирование объектов есть измерение в порядковой шкале.

В практике ранжирования чаще всего применяется числовое представление последовательности в виде натуральных чисел:

x₁ = j(a₁) = 1, x₂ = j(a₂) = 2, ..., x_N =j(a_N) = N,

т.е. используется числовая последовательность. Числа х₁, х₂,..., x_n в этом случае называются рангами и обычно обозначаются буквами r₁, r₂,..., r_N. Применение строгих численных отноше­ний «больше» (>), «меньше» (<) или «равно» (=) не всегда позво­ляет установить порядок между объектами. Поэтому наряду с ними используются отношения для определения большей или меньшей степени какого-то качественного признака (отношения частичного порядка, например полезности), отношения типа «более предпоч­тительно» (>), «менее предпочтительно» (<), «равноценно» (~) или «безразлично» (~). Упорядочение объектов при этом может иметь, например, следующий вид:

а₁>а₂>а₃» а₄ » а₅>а₆>…>а_N-1» а_N.

Такое упорядочение образует нестрогий линейный порядок.

Для отношения нестрогого линейного порядка доказано су­ществование числовой системы с отношениями неравенства и равенства между числами, описывающими свойства объектов. Любые две числовые системы для нестрогого линейного порядка связаны между собой монотонным преобразованием. Следова­тельно, ранжирование при условии наличия эквивалентных объек­тов представляет собой измерение также в порядковой шкале.

В практике ранжирования объектов, между которыми допус­каются отношения как строгого порядка, так и эквивалентности, числовое, представление выбирается следующим образом. Наи­более предпочтительному объекту присваивается ранг, равный единице, второму по предпочтительности - ранг, равный двум, и т.д. Для эквивалентных объектов удобно с точки зрения техно­логии последующей обработки экспертных оценок назначать одинаковые ранги, равные среднеарифметическому значению рангов, присваиваемых одинаковым объектам. Такие ранги на­зывают связанными рангами. Для приведенного примера упо­рядочения на основе нестрогого линейного порядка при N = 10 ранги объектов a₃, а₄, а₅ будут равными r ₃ = r₄ = r₅ = (3+4+5) /3 = 4.

В этом же примере ранги объектов a₉, a₁₀ также одинаковы и равны среднеарифметическому r₉ = r₁₀ = (9+10) / 2 = 9,5. Связан­ные ранги могут оказаться дробными числами. Удобство исполь­зования связанных рангов заключается в том, что сумма рангов N объектов равна сумме натуральных чисел от единицы до N. При этом любые комбинации связанных рангов не изменяют эту сумму. Данное обстоятельство существенно упрощает обработ­ку результатов ранжирования при групповой экспертной оценке.

При групповом ранжировании каждый S-й эксперт присваи­вает каждому i -му объекту ранг r_is. В результате проведения экс­пертизы получается матрица рангов | || r_is || размерности Nk, где k - число экспертов; N - число объектов; S = Результа­ты группового экспертного ранжирования удобно представить в виде табл. 2.5.

Аналогичный вид имеет таблица, если осуществляется ран­жирование объектов одним экспертом по нескольким показате­лям сравнения. При этом в таблице вместо экспертов в соответ­ствующих графах указываются показатели. Напомним, что ран­ги объектов определяют только порядок расположения объектов по показателям сравнения. Ранги как числа не дают возможнос­ти сделать вывод о том, на сколько или во сколько раз предпоч­тительнее один объект по сравнению с другим.

Таблица 2.5

Дата добавления: 2014-01-07