Элементар функциялар

Дәрежелік , көрсеткіштік , логарифмдік , тригонометриялық және кері тригонометриялық функцияларын негізгі элементар функциялар деп атайды.

Негізгі элементар функцияларға төрт арифметикалық және күрделі функция құру амалдарын ақырлы рет қолданудың нәтжесінде пайда болатын функцияны элементар функция деп атайды.

Аталған амалдардың айқын түрде жазылуын формула деп атайды. Мысалы, , - элементар функциялар.

Формула функцияны анықтау үшін, онда көрсетілген амалдарды кемінде бір нақты сан үшін орындау мүмкін болып, сол есептеулерді жүргізгенде тек қана нақты сан пайда болуы керек.

Ньютон биномының формуласы

Кез келген оң бүтін саны мен кез келген және нақты сандары үшін

теңдігі орындалады.

Бұл – Ньютон биномының формуласы – (бином - қос мүшелік), дәрежесінің коэффициентін биномдық коэффициент деп атайды да, символымен белгілейді.

- ны элементтен k бойынша теру деп оқиды.

Осыны ескерсек, Ньютон биномының формуласын келесідей жазуға болады:

.

Анықтама. Тізбек деп барлық оң бүтін сандар жиынында анықталған функциясын атайды. функциясының оң бүтін санына сәйкес мәнін деп белгілейді, яғни

Тізбектің мәнін, яғни әрбір санын, тізбектің мүшесі дейді.

Ілгеріде ыңғайына қарай, тізбекті мына символдардың бірімен белгілейміз:

; _; .

Тізбек жалпы мүшесі арқылы да, бірнеше бастапқы мүшелері арқылы да берілуі мүмкін.

Шенелген және шенелмеген тізбектер

, сандарынан құрылған сандар жиынын тізбегінің мәндерінің жиыны дейді.

Анықтама. Мәндерінің жиыны жоғарыдан шенелген жиын болатын тізбегін жоғарыдан шенелген, ал мәндерінің жиыны төменнен шенелген жиын болатын тізбегін төменнен шенелген деп атайды.

Яғни, тізбек жоғарыдан шенелген болса, белгілі бір нақты саны табылып, барлық нөмерлері үшін теңсіздігі, ал төменнен шенелген болса, белгілі бір нақты саны табылып, барлық нөмерлері үшін теңсіздігі орындалады.

Бұл анықтаманы кванторлар тілінде былай жазады:

, .

Жоғарыдан да, төменнен де шенелген тізбекті шенелген тізбек деп атайды.

Мысалы, тізбегі шенелген, себебі тізбектің барлық мүшелері үшін . Ал, тізбегі төменнен 1 санымен шенелген, ал жоғарыдан шенелмеген.

Анықтама (Тізбек шегінің анықтамасы). тізбегі берілсін. Егер кез келген саны бойынша саны табылып, барлық нөмірлері үшін теңсіздігі орындалса, онда тізбегінің нақты мәнді шегі бар және ол санына тең деп атап, оны былай белгілейді:

.

Осы жағдайда тізбегін «санына жинақталатын тізбек», «санына ұмтылатын тізбек» деп те атайды.

Кванторлар тілінде тізбек шегінің анықтамасын келесідей жазады:

.

Маңайлар

Анықтама. нақты сан, ал болсын.

нақты санының - маңайы деп интервалын атайды және оны немесе арқылы белгілейді.

Демек, жиыны санының - маңайы, немесе .

Нақты сандар жиынында бұдан өзге бес түрлі маңай бар. Олар:

- нүктесінің оң жақты e - маңайы,

- нүктесінің сол жақты e - маңайы,

- - тің e - маңайы,

- - тің e - маңайы,

- - тің e - маңайы.

Сонымен, нақты сандар жиынында алты түрлі маңай бар.

Егер болса, онда ол нүктенің маңайы қысқаша ал, болса, онда арқылы белгіленеді.

Алғашқы үш маңайды ақырлы маңайлар, ал соңғы үш маңайларды ақырсыз маңайлар дейді. Осы маңайлармен байланысты тізбек шегі анықтамасының кейбір дербес жағдайларын қарастырайық.

Анықтама. Егер кез келген саны бойынша саны табылып, барлық нөмірлері үшін теңсіздігі орындалса, онда тізбегі санына жоғарыдан (оң жақтан) ұмтылады деп атайды және оны келесідей белгілейді:

Анықтама. Егер кез келген саны бойынша саны табылып, барлық нөмірлері үшін теңсіздігі орындалса, онда тізбегін (минус шексіздікке) ұмтылады деп атайды және оны келесідей белгілейді:

Тізбек шегінің маңайлармен байланысты жоғарыдағы анықтамалары кванторлар тілінде келесідей жазылады:

Егер кез келген нақты саны үшін тізбегі санына ұмтылмаса, онда оның нақты мәнді шегі жоқ дейді.

тізбегінің нақты мәнді шегі жоқ.

Жинақталатын тізбектердің қасиеттері

1-теорема. Егер тізбек жинақталатын болса, онда:

1) ол тізбек шенелген;

2) тізбектің тек бір ғана шегі бар;

3) тізбектің шегі ноль емес нақты а саны болса, онда саны табылып, барлық нөмірлері үшін болады. Нақтырақ айтқанда, барлық үшін, егер болса, онда , ал егер болса, онда ;

4) Егер , және белгілі бір нөмірінен бастап болса, онда ;

5) , және тізбектері үшін келесі шарттар орындалса:

a) белгілі бір нөмірінен бастап , b) және . Онда ;

6) Егер болса, онда

Ескерту. Тізбектің шенелгендігі оның жинақтылығының қажетті шарты. Жалпы жағдайда, тізбектің шенелгендігінен оның жинақтылығы шықпайды. Яғни, шенелген тізбек жинақталатын да, жинақталмайтын да болуы мүмкін. Мысалы, тізбегі шенелген бірақ шегі жоқ.

Тізбектерге қолданылатын арифметикалық амалдар

2-теорема. { х_n } және { у_n } тізбектері берілсін және болсын. Онда

1) ,

2) ,

3) , әрбір с нақты саны үшін,

4) ,

5) , егер болса.

Сонымен, екі жинақталатын тізбекке арифметикалық амалдар қолдану арқылы құрылған тізбектердің де шектері бар және алғашқы тізбектердің шектеріне сәйкес арифметикалық амалдар қолданғандағы нәтижесіне тең.

Дата добавления: 2014-01-07