Мысалдар. Бұл формулада таңбасының астына функциясының алғашқы функциясын енгізіп

1. .

Бұл формулада таңбасының астына функциясының алғашқы функциясын енгізіп, деп жаздық.

2.

3. .

4.

Бөліктеп интегралдау әдісі

Бөліктеп интегралдау әдісін қолданғанда интеграл астындағы өрнекті екі көбейткіштің көбейтіндісі түрінде қарастыру керек. Дифференциалдары үзіліссіз u=u (x) және v=v (x) функциялары берілсін.

Теорема. Егер және функциялары белгілі бір Х жиынында анықталған, дифференциалданатын және функциясының осы аралықта алғашқы функциясы интегралы болса, онда Х жиынында функциясының да алғашқы функциясы интегралы бар болады, сонымен бірге (5)

немесе

теңдігі орындалады.

(5.5) - формула бөліктеп интегралдау формуласы деп аталады.

Көп жағдайда, бөліктеп интегралдау формуласын қолдану кезінде и (х) пен v' (x) dx=dv көбейтіндіcін дұрыс таңдау маңызды. Интеграл астындағы өрнек функциялардың көбейтінділерінен құралса, онда көбейткіштердің түріне қарап, үш топқа бөлуге болады.

Мысалдар. Интегралдарды есептеңіз.

1. .

Шешуі. u=lnx, dv= xdx белгілеулерін енгіземіз. Сонда болады. Ендеше

2.

3. Дұрыс рационал бөлшектерді жәй бөлшектердің қосындысына жіктеу

Анықтама. - ші дәрежелі

,

мұнда n – натурал сан, - тұрақты коэффициенттер, алгебралық көпмүшені аргументінен тәуелді бүтін рационал функция деп атайды.

Кез келген рационал функцияны екі көпмүшенің қатынасы түрінде жазуға болады:

,

мұнда - - ші дәрежелі, ал - m - ші дәрежелі көпмүшеліктер. Егер бөлшектің алымында тұрған көпмүшелігінің дәрежесі оның бөлімінде тұрған көпмүшелігінің дәрежесінен кіші болса (яғни, мұндағы ), онда бөлшекті дұрыс рационал бөлшек, ал, егер, керісінше, болса, онда бөлшекті бұрыс рационал бөлшек деп атайды.

Кез келген бұрыс рационал бөлшекті алымын бөліміне бөлу арқылы оны көпмүшелік пен дұрыс рационал бөлшек қосындысы түрінде жазуға болады. Дұрыс рационал бөлшекті интегралдау үшін оны жәй бөлшектер қосындысына жіктеп алу керек.

Мысалдар. Рационал функцияларын жәй рационал бөлшектер қосындысына жіктейік.

1. .

Шешуі. Бұл рационал бөлшектің бөлімі түрдегі көбейткіштерге жіктеледі. Ендеше , мұндағы А және В коэффициенттері табылуға тиісті белгісіз коэффициенттер. Ол үшін теңдіктің оң жағын ортақ бөлімге келтіріп, қосындысын табамыз:

.

Ортақ бөлімі біріне бірі тең болғандықтан, олардың алымын теңестіреміз: немесе .

Бұл теңдіктегі - тің бірдей дәрежелерінің коэффициенттерін теңестіріп, теңдеулер жүйесін аламыз:

Коэффициенттерге қатысты теңдеулер жүйесін шешіп, белгісіз коэффициенттерді анықтаймыз:

; .

Сонда бастапқы бөлшекті мына түрде жазуға болады:

.

5-дәріс. Анықталмаған интеграл

Дата добавления: 2014-01-07