Штік интегралдар

Қос интегралға ұқсас үштік интеграл анықтамасын енгізуден ілгері көлем элементі ұғымын енгізелік. Яғни және өстеріне сәйкесінше тік болған жазықтықтармен кеңістіктегі облысты кішкентай параллепипед облыстарға бөлейік, онда - ші кішкентай облыстың көлемі болады, сонда кеңістіктегі тік бұрышты координаталар жүйесіндегі көлем элементі түрінде болады, сәйкесінше үштік интеграл келесідей болады:

.

Анықтама. Берілген шектелген функциясы шектелген тұйық облысында анықталған болсын. Бұл облысын кез келген әдіспен бөлікке бөліп, ол бөліктер көлемдерін арқылы белгілейік, әрбір элементар бөлігінен нүктесін алып, көбейтіндісін құралық, сонымен қатар интегралдық қосындысын табалық. Егер осы интегралдық қосындының шегі, яғни бар болса, онда осы табылған шек функциясының - дағы үштік интегралы деп аталады, әрі оны арқылы белгілейді. Көлем элементі - ны тік бұрышты координаталар жүйесінде түрінде жазуға болады.

Берілген облысындағы үзіліссіз функциясы үшін бұл шек бар болады да, ол облысын бөлікке бөлу әдісімен әр бөліктен алынған нүктесіне байланыссыз болады.

Егер болса, берілген облысы бойынша есептелген үштік интеграл сол дененің массасын анықтайды (бұл үштік интегралдың физикалық мағынасы).

Үштік интегралды үш еселі интегралға айналдырып есептеу

а) Параллепипед тәрізді денеде интегралдау.

Теорема. Егер функциясының параллелепипедінде үштік интегралы бар болса, әрі кез келген үшін

қос интегралы табылса, онда

интегралы да табылады, әрі келесі теңдік орындалады:

.

Теореманы ашып көрсетер болсақ, , ал функциясы - да үзіліссіз, онда үштік интегралды алдымен , сосын , айнымалылары арқылы интегралдау есебіне айналдырамыз, сонда

Дата добавления: 2014-01-07