Аксиомы теории вероятностей

Рассмотрим произвольное пространство элементарных исходов W. Выделим в нем систему S подмножеств (событий) так, чтобы выполнялись следующие три условия:

1. .

2. Если , то .

3. Если и ,то , .

Система S называется алгеброй событий. Алгебра S называется
s–алгеброй, когда постулируется, что сумма бесконечного числа событий принадлежит S, если каждое из слагаемых принадлежит S.

Из условий, определяющих алгебру S, следует также, что Æ, А\ В Î S, если A Î S, B Î S и , если A_i Î S, i = 1, 2, …, n.

Действительно, Æ = (условия 1 и 2); А \ В = (условия 2 и 3); A ₁ + A ₂ Î S (A ₁ + A ₂) + A ₃ Î S … (условие 3 применяется n - 1 раз).

В случае s –алгебры произведение бесконечного числа событий принадлежит S, если каждый из сомножителей принадлежит S. Это следует из условий 2, 3, определения s –алгебры и результатов задачи 2.4.8.

Поставим в соответствие каждому событию A Î S число p (A), называемое вероятностью события А, так, чтобы выполнялись три аксиомы.

1. : p (A) ³ 0.

2. p (W) = 1.

3. Если события А ₁, А ₂,..., А_k попарно несовместны, т.е.

A_i A_j = Ø, i ¹ j, i, j = 1, 2,..., k, то

p (A ₁ + A ₂ + … + A_k) = .

В случае s –алгебры аксиома 3 распространяется на бесконечную сумму.

Дата добавления: 2014-01-07