Взаємне розташування трьох площин. Нехай три площини задані рівняннями:

Нехай три площини задані рівняннями:

₁: A₁x+B₁y+С₁z+D₁=0, ₂ : А₂х+B₂y+С₂z+D₂=0 та ₃: А₃x+B₃y+С₃z+D₃=0

Можна виділити 8 випадків їх взаємного розташування:

1. Всі площини співпадають:

Тоді у всіх трьох рівняннях коефіцієнти біля змінних і вільні члени пропорційні.

2. Дві площини співпадають, третя їм паралельна:

У двох рівняннях коефіцієнти біля змінних і вільні члени пропорційні, а в третього коефіцієнти біля змінних пропорційні до перших двох, а вільні члени не пропорційні до них.

3. Три площини паралельні:

У всіх трьох рівняннях коефіцієнти білі змінних пропорційні, а вільні члени не пропорційні до них.

4. Дві співпадакль, а третя їх перетинає:

У двох рівняннях коефіцієнти біля змінних і вільні члени пропорційні, а в третього коефіцієнти біля змінних не пропорційні до перших двох.

5. Дві паралельні, а третя їх перетинає:

У якоїсь пари рівнянь коефіцієнти біля змінних пропорційні, а вільні члени не пропорційні до них, а в третього рівняння коефіцієнти біля змінних не пропорційні до перших двох.

Як бачимо, у перших 5-ти випадках досить просто уважно подивитися на рівняння, і зробити висновки про взаємне розташування трьох площин.

Якщо ж перші 5 випадків не підходять, то залишаються такі три випадки:

6. Всі площини перетинаються по одній прямій.

7. Площини перетинаються по трьом паралельним прямим.

8.Площини мають одну спільну точку.

Для того, щоб дати відповідь про розташування площин в останніх трьох випадках, досить розв'язати систему, складену з рівнянь трьох площин. Тоді, якщо система:

а) має безліч розв'язків, то маємо випадок 6 — площини перетинаються по одній прямії (розв'язками будуть всі точки їх спільної прямої),

б) не має розв'язків, то випадок 7 (у площин не існує жодної спільної точки),

в) один розв'язок, то це випадок 8 (цей розв'язок і є координатами їх спільної точки).

Дата добавления: 2014-01-07