Теорема про розподіл швидкостей точок тіла

Визначимо швидкість т. цього тіла. Для цього введемо радіус-вектори , , , задаючи таким чином положення т. в рухомій і нерухомій системах координат
(див. рис. 5.4).

Рис. 5.4.Задання положення т. тіла в рухомій і нерухомій системах координат.  

Розглянемо рух т. як складний. При цьому поступальний рух разом із полюсом є переносним, а обертальний навколо полюса – відносним. Із рисунка видно, що

,

(5.4)

але , тоді, здиференціювавши рівність (5.4), отримаємо

або ,

(зауважимо, що ), де - швидкість руху точки відносно полюса; тоді

.

(5.5)

Визначимо швидкість . Оскільки відносний рух – обертальний, то за формулою Ейлера матимемо

,

(5.6)

крім цього, враховуючи, що вектор є завжди перпендикулярним до площини фігури, а вектор належить цій площині, то

,

(5.7)

а також

,

(5.8)

що завжди виконується.

Рис. 5.5.До теореми про розподіл швидкостей.

Геометричне представлення наведе-них вище формул показано на рис. 5.5. Таким чином, доведена наступна теорема про розподіл швидкостей: швидкість будь-якої точки тіла під час плоскопаралельного руху дорівнює векторній сумі швидкості полюса і швидкості обертального руху навколо полюса. Швидкість обертального руху навколо полюса є завжди перпендикулярною до прямої, що з'єднує точку з полюсом.

Наслідки:

1) проекції швидкостей двох точок тіла на пряму, що їх з’єднує, є рівними між собою
(рис. 5.6). Це є кінематичне означення абсолютно твердого тіла.

Рис. 5.6.До наслідку 1.

  Для доведення виберемо за полюс т. , тоді

,

(5.9)

спроектуємо цю векторну рівність (5.9) на пряму -

,

але (оскільки ), тому

,

що і треба було довести;

2) завжди існує точка, незмінно зв’язана (але необов'язково співпадаюча) з твердим тілом, швидкість якої у даний момент часу дорівнює нулю. Ця точка називається миттєвим центром швидкостей (м.ц.ш.).

Рис. 5.7.До наслідку 2.

Якщо за полюс вибрати м.ц.ш., то закон розподілення швидкостей у тілі є законом розподілу швидкостей при обертальному русі, тобто тіло виконує миттєве обертання навколо осі, що проходить через м.ц.ш. (див. рис. 5.7).

5.3. Миттєвий центр швидкостей; способи його знаходження

Розглянемо різні способи побудови м.ц.ш.

1. У твердому тілі відома швидкість точки і миттєва кутова швидкість (див. рис. 5.8).

Рис. 5.8.Перший спосіб побудови м.ц.ш.	Припустимо, що точка - м.ц.ш., тобто . Виберемо за полюс т. і визначимо швидкість т. : , але , тоді маємо (див. рис. 5.8) і . Оскільки також перпендикулярна до , то м.ц.ш. лежить на прямій, перпендикуляній до . Крім того, , а отже , і тоді . Відкладемо відстань від т. у напрямі, який визначається знаком . Якщо положення м.ц.ш. знайдено, то швидкість будь-якої точки легко визначити на підставі співвідношення
,	(5.10)

або

,

тобто швидкості точок плоскої фігури співвідносяться як їх відстані до м.ц.ш.

2. Відомі напрямки швидкостей двох точок тіла (див. рис. 5.9).

Рис. 5.9.Знаходження м.ц.ш. при довільних напрямках швидкостей.

Тоді, відновлюючи у точках перпендикуляри до напрямків їх швидкостей, отримаємо на перетині цих перпендикулярів шуканий м.ц.ш. . Якщо ж напрямки швидкостей двох точок тіла колінеарні, то мають місце наступні частинні випадки, показані на рис. 5.10.

а) і різні і напрямлені в одну сторону	б) і різні і напрямлені в протилежні сторони
Рис. 5.10.Частинні випадки побудови м.ц.ш. при колінеарних напрямках швидкостей.

Якщо швидкості двох точок тіла паралельні і рівні (див. рис. 5.11), то тіло виконує миттєво-поступальний рух. Цей рух відрізняється від звичайного поступального тим, що прискорення розглядуваних точок можуть бути й нерівними, навіть якщо швидкості цих точок є рівними

Рис. 5.11. Випадок паралельних і рівних швидкостей.

3. Положення м.ц.ш. можна визначити і із суто фізичних міркувань (див. рис. 5.12).

Рис. 5.12. «Фізичний» спосіб визначення положення м.ц.ш.

Так у колесі, що котиться без ковзання вздовж горизонтальної прямої, швидкість точки контакту колеса із землею буде дорівнювати нулю (якщо немає проковзування), тобто ця точка є м.ц.ш. колеса. Зауважимо, що положення м.ц.ш. (т. ) змінюється під час руху колеса. В кожний момент часу м.ц.ш. займає нове положення, геометричне місце м.ц.ш. називається центроїдою, існують рухома і нерухома центроїди (відповідно коло і пряма).

Теорема Пуансо: будь-який неперервний рух плоскої фігури в її площині можна здійснити коченням без ковзання рухомої центроїди по нерухомій.

(Коченням без ковзання називається рух двох кривих, що мають спільну точку, при якому швидкості спільної точки цих кривих є рівними між собою.)

Зокрема, при плоскопаралельному русі твердого тіла також має місце кочення рухомої центроїди по нерухомій без ковзання.

5.4. План швидкостей

Планом швидкостей називається креслення, на якому графічним методом знаходяться швидкості всіх точок одного тіла або системи твердих тіл, що рухаються у площині.

Знайдемо швидкості всіх точок твердого тіла. Отже, відома (задана) швидкість однієї точки за величиною і напрямком, а також відомий напрямок швидкості іншої точки (див. рис. 5.13).

Треба знайти швидкості всіх точок тіла.

Рис. 5.13.Постановка задачі.

Виберемо за полюс т. , тоді

.

(5.11)

Рівність (5.11) описує замкнений векторний трикутник, в якому вектор відомий повністю, а і відомі за напрямком: . Побудуємо цей трикутник.

Для цього із довільного полюса у масштабі будуємо відрізок (див. рис. 5.14), з кінця якого проводимо промінь, перпендикулярний до

(рис. 5.13), а з полюса - промінь за напрямком вектора швидкості т. . У трикутнику, що утворився: .

Рис. 5.14.План скоростей.

Визначимо тепер швидкість довільної т. . З'єднаємо її з точками і . Виберемо за полюс спочатку т. , а потім т. . Поміщаючи полюс у т. , будемо мати

,

(5.12)

де відома повністю, а - за напрямком (). Якщо ж розташувати полюс у
т. , то можна записати

,

(5.13)

де відомі напрямки і ().

Зауважимо, що побудови на плані швидкостей відповідають графічному розв’язанню системи рівнянь (5.12)¸(5.13), тобто побудови

, призводять до: .

Приклад (побудови плану швидкостей системи твердих тіл).

Для механізму, ланка якого обертається у додатному напрямку з кутовою швидкістю , визначити графічно швидкості всіх його точок у положенні, схематично показаному на рис. 5.15.

Рис. 5.15.Схема досліджуваного механізму.	Рис. 5.16.План швидкостей для механізму з рис. 5.15.

Послідовність побудови плану швидкостей така (див. рис. 5.16):

1) обчислюємо швидкість т. і будуємо вектор у масштабі від довільно вибраного полюса на плані швидкостей ();

2) визначаємо швидкість т. (оскільки відомий її напрямок), користуючись формулою:
,
для чого через т. на плані швидкостей проводимо пряму , перпендикулярну до відрізку , до перетину в т. із відомим напрямком швидкості т. , проведеним із полюса ; тоді ;

3) для знаходження швидкості т. розв'язуємо графічно систему рівнянь

в цьому випадку т. на плані швидкостей знаходиться як перетин перпендикулярів до сторін і вихідного (тобто ), і крім цього ; отже, ;

4) швидкість т. визначається із урахуванням того, що ця точка ділить сторону і відрізок плану в однаковому відношенні (оскільки побудови проводилися в одному масштабі), тобто
.

5) знайдемо тепер швидкість т. . Врахувавши те, що , проводимо і з т. пряму, що має напрямок швидкості ; отримуємо у перетині точку , тоді .

Дата добавления: 2014-01-07