Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Базис на плоскости и в пространстве

Линейная зависимость векторов.

Условие коллинеарности двух векторов. Орт вектора.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ

Линейные операции: сложение, вычитание, умножение вектора на действительное число.

Суммой векторов и называют вектор, идущий из начала вектора в конец вектора при условии, что вектор приложен к концу вектора:

правило треугольника правило параллелограмма

 

d
e1
а


 

 

Правило многоугольника

 
 
 
 
 
      +  

 


 

Если начало вектора совпадает с точкой его конца, то такой вектор называется нулевым.

В частности:


 

Свойства операции сложения

1) (коммутативность)

 

2) (ассоциативность)

 

 

РАЗНОСТЬЮ двух векторов и называют такой вектор, который в сумме с вектором даёт вектор.

 


 

 

ПРОИЗВЕДЕНИЕМ вектора ā на действительное число называется вектор, коллинеарный вектору ā и имеющий длину, равную и направление: или совпадающее с направлением вектора ā (если) или ему противоположное (если)

· Если,, то - вектор есть вектор растянутый в раз

· Если, то - вектор ā сжатый в раз и обратно направленный.

· Если, то - вектор ā растянутый в раз и обратно направленный.

· Если, то - вектор ā сжатый в раз и обратно направленный.

 

Свойства операций

1. – дистрибутивность относительно суммы векторов

2. –дистрибутивность относительно суммы чисел

3. –ассоциативность числовых сомножителей

 

ТЕОРЕМА 1: Векторы и коллинеарны когда существует такое число, что имеет место равенство:.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Здесь и в дальнейшем будем считать, что необходимость в теореме обозначаем символом, а достаточность символом:. Необходимость и достаточность символом:

Пусть, необходимо доказать.

Если, то приводя к одному началу данные вектора, получим:

 

Если векторы ненулевые имеем два случая (см. рисунок):

1) одинаково направлены:, откуда следует, что, т.е.

2) разнонаправлены: в этом случае аналогично.

 

(Достаточность) Пусть, покажем, что. Так как, то коллинеарность следует вследствие свойств умножения вектора на число.

· Если вектор имеет при выбранном масштабе длину, равную единице, то он называется единичным вектором или ортом, т.е. или:.

ПРИМЕР:

Каким условиям должны удовлетворять вектора и, чтобы вектор делил угол между ними пополам?

РЕШЕНИЕ: этот вектор – это диагональ параллелограмма, построенного на и. Но диагональ делит угол пополам лишь в случае, если параллелограмм – есть ромб. Откуда следует что.

 

Линейной комбинацией векторов называется сумма:

, где - произвольные действительные числа.

Векторы называются линейно зависимыми, если существуют такие вещественные числа одновременно не равные нулю такие что

 

· Если векторы не являются линейно зависимыми, то они линейно линейно независимы

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Понятие вектора | Разложение вектора на базис. Координаты вектора в базисе. Декартовая система координат. Проекция вектора на ось
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 582; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.013 сек.