Выпуклость и точки перегиба функции

График дифференцируемо функции y=f(x) называется выпуклым вниз на интервале (a;b), если он расположен выше любой ее касательной на этом интервале. График функции y=f(x) называется выпуклым вверх на интервале (a;b), если он расположен ниже любой ее касательной на этом интервале.

Интервалы выпуклости вниз и вверх находят с помощью следующей теоремы.

Теорема: Если функция y=f(x) имеет на интервале (a;b) 2-ую производную и

то график функции на этом интервале выпуклый вверх. Если -

график выпуклый вниз.

Определение: Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция меняет направление выпуклости.

Теорема: (необходимое условие точки перегиба)

Если график функции имеет перегиб в точке и функция имеет непрерывную 2-ую производную в этой точке, то .

Точки, в которых 2-ая производная равна 0, называются критическими точками 2-го рода.

Не всегда 2-ое условие означает наличие точки перегиба.

=0 =0 не сущ. не сущ. не сущ.

перегиб есть перегиба нет перегиб есть перегиба нет перегиб есть

Теорема: (достаточное условие точки перегиба)

Если в точке функция имеет или не существует и при переходе через точку меняет знак, то точка является точкой перегиба.

Пример: Исследовать на выпуклость и найти точки перегиба функции .

В точке перегиба график функции меняет выпуклость вверх слева на выпуклость вниз справа; в точкевыпуклость графика меняется с выпуклости вниз слева на выпуклость вверх справа.

Дата добавления: 2014-01-07